24. Матрицы, операции над ними. Определители n-го порядка, теорема Лапласа. Обратная матрица, ранг матрицы, базисный минор.

Матрицей размераm x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m=n называется размером квадратной матрицы или её порядком.
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые.
Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами
Нулевая матрица — матрица, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица).
Транспонированная матрица — матрица A^T, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.

Операции над матрицами

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц A+B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

Свойства сложения матриц:

  • коммутативность: A + B = B + A;
  • ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C);
  • сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ заключается в построении матрицы λA = (λ*a_ij).

Свойства умножения матриц на число:

  • умножение на единицу: 1A = A;
  • ассоциативность: (λβ)A = λ(βA);
  • дистрибутивность: (λ + β)A = λA + βA, λ(A + B) = λA + λB;

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения A x B) — есть операция вычисления матрицы C, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B, иными словами, матрица A обязана быть согласованной с матрицей B. Если матрица A имеет размерность m x n, B — n x k, то размерность их произведения A B = C есть m x k.

Свойства умножения матриц:

  • ассоциативность: (AB)C = A(BC);
  • некоммутативность (в общем случае): AB != BA;
  • произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AE = EA;
  • дистрибутивность: (A + B)C = AC + BC, A(B + C) = AB + AC;
  • ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Определители n-го порядка, теорема Лапласа

подстановка

Определителем n-го порядка соответствующей квадратной матрице A n-го порядка называется сумма произведений элементов взятых из каждой строки каждого столбца по одному и умноженное на (-1)^t, где t — чётность подстановки

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.

Для матрицы первого порядка значение определителя равно единственному элементу этой матрицы:

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали.

Определитель третьего порядка можно вычислить по формуле (правило треугольника):

Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число A_ij = (−1)^(i+j) ⋅ M_ij
Теорема Лапласа. Пусть в определителе порядка n выбрано k строк (столбцов) (где 1 ≤ k ≤ n–1). Тогда определитель равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица, ранг матрицы, базисный минор

Обратная матрица — такая матрица A^−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.


В матрице A размеров m×n минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.
Ранг матрицы — наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.