2. Предел функции и его свойства.

Предел функции по Коши: число A называется пределом функции f(x) в точке x_0, если для любой заранее выбранной окрестности (сколь угодно малой), существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей

Основные виды неопределенностей: 

⌈0/0⌉, [∞/∞], [0⋅∞], [∞−∞], [1^∞], [0^0], [∞^0]

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

  1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
  2. замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;
  3. правило Лопиталя;
  4. эквивалентные бесконечно малые функции.

Правило Лопиталя

В пределе отношение функций можно заменить отношением производных этих функций. Т.е. надо производную числителя разделить на производную знаменателя и от этой дроби взять предел.

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) удовлетворяют следующим условиям:

  • эти функции дифференцируемы в окрестности точки a, кроме, может быть, самой точки a;
  • g(x)≠0 и g′(x)≠0 в этой окрестности;
  • lim f(x)=0 при x→a, lim g(x)=0 при x→a;
  • lim f′(x)/g′(x) при x→a существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и lim f(x)/g(x) при x→a, причем lim f(x)/g(x) при x→a = lim f′(x)/g′(x) при x→a

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями [0/0] и [∞/∞], неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.