May 11, 2019

3. Производная функции одной переменной, дифференциал. Дифференцирование функции. Экстремум функции. Теоремы Ферма.

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной x соответствует одно и только одно значение функции y.
Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.
Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Свойства

Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

Производная суммы производных

Производная произведения функций

Производная частного функций

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

Геометрический смысл

Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.
Производная функции в точке x_0 численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке

А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:

tg φ = k
Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в x_0, когда приращение аргумента равно Δx.

Дифференцирование сложной, обратной функции, заданной неявно и параметрически

Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом:

f(g(x))
  • Производная сложной функций
  • Производная функции, заданной неявно

Несмотря на то, что уравнение F(x, y) = 0 не разрешимо относительно y оказывается возможным найти производную от y по x. В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию y как функцию от x, а затем из полученного уравнения найти производную y'.

– пример неявной функции.

  • Производная параметрически заданной функции

Предположим, что функциональная зависимость x от y не задана непосредственно y = f(x) а через промежуточную величину — t.

Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

– пример параметрически заданной функции.

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что

получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Пример решения

Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.

Точка называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x)≤f(x_0)

Точка x0 называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности

f(x)≥f(x_0)

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.


Необходимое условие экстремума

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x_0, то ее производная f'(x_0) либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: f′(x)=0, называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения f′(x)=0), либо это точки, в которых производная f′(x) не существует.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

  1. функция непрерывна в окрестности точки x0;
  2. f′(x_0)=0 или f′(x_0) не существует;
  3. производная f′(x) при переходе через точку x0 меняет свой знак.
Тогда в точке x=x_0 функция y=f(x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x_0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x_0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

Второе достаточное условие экстремума

Пусть для функции y=f(x) выполнены следующие условия:

  1. она непрерывна в окрестности точки x0;
  2. первая производная f′(x)=0 в точке x0;
  3. f′′(x) ≠ 0 в точке x_0
Тогда в точке x_0 достигается экстремум, причем, если f′′(x0)>0, то в точке x=x_0 функция y=f(x) имеет минимум; если f′′(x0)<0, то в точке x=x_0 функцияy=f(x) достигает максимум.

Теорема Ферма

Если функция имеет локальный экстремум в точке x_0 и дифференцируема в этой точке, то f'(x_0) = 0
Пусть функция f определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x_0∈(a,b) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом интервале. Если существует f′(x_0), то f′(x_0) = 0.