5. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных функций и некоторых иррациональных.

Функция F(x) называется первообразной для функции y = f(x) на промежутке (a; b), конечном или бесконечном, если функция F(x) дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
F'(x) = f(x)

Это равенство можно записать через дифференциалы:

Пример:

Функция F(x) = (x^2)/2 является первообразной для функции f(x) = x, т.к.:

Совокупность всех первообразных функции y = f(x), определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции y = f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.

То есть:

∫f(x)dx = F(x) + C
Знак называется интегралом, f(x)dx - подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, а x - переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием функции f(x). Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Правила интегрирования

  • Интеграл от произведения числа на функцию равен произведения этого числа на интеграл от функции:
∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx; k - любое число
  • Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:
  • Интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
  • Интегрирование заменой переменной или методом подстановки.

Пусть x=ϕ(t), где функция ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ′(t), а между переменными x и t существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство:

∫f(x)dx = ∫f(ф(t)) * ф'(t)dt

Интегрирование рациональных функций

Рациональная функция - это дробь вида P(x)/Q(x), числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Для интегрирования рациональной функции используется следующая последовательность шагов:

  1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение.
  2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
  3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя методнеопределенных коэффициентов.
  4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Пример 1:

Пример 2:

Интегрирование иррациональных функций

Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может.

Иррациональной называется функция, у которой переменная находится под знаком корня. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Для нахождения таких интегралов чаще всего используют метод замены переменной.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей x^(m/n) используется подстановки u = x^(1/n).

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме u = x^(1/n), где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражения вида:

интегрируется с помощью подстановки:


Пример 1:

Пример 2: