5. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных функций и некоторых иррациональных.
Функция F(x) называется первообразной для функции y = f(x) на промежутке (a; b), конечном или бесконечном, если функция F(x) дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:
F'(x) = f(x)
Это равенство можно записать через дифференциалы:
Пример:
Функция F(x) = (x^2)/2
является первообразной для функции f(x) = x
, т.к.:
Совокупность всех первообразных функцииy = f(x)
, определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функцииy = f(x)
и обозначается символом∫f(x)dx
.
То есть:
∫f(x)dx = F(x) + C
Знак∫
называется интегралом,f(x)dx
- подынтегральным выражением,f(x)
- подынтегральной функцией, аx
- переменной интегрирования.
Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием функции f(x). Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.
Правила интегрирования
- Интеграл от произведения числа на функцию равен произведения этого числа на интеграл от функции:
∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx; k - любое число
- Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:
- Интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
- Интегрирование заменой переменной или методом подстановки.
Пусть x=ϕ(t)
, где функция ϕ(t)
имеет непрерывную производную ϕ′(t)
, а между переменными x и t существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство:
∫f(x)dx = ∫f(ф(t)) * ф'(t)dt
Интегрирование рациональных функций
Рациональная функция - это дробь вида P(x)/Q(x)
, числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Для интегрирования рациональной функции используется следующая последовательность шагов:
- Если дробь неправильная (т.е. степень
P(x)
больше степениQ(x)
), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение. - Разложить знаменатель
Q(x)
на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений. - Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя методнеопределенных коэффициентов.
- Вычислить интегралы от простейших дробей.
Пример 1:
Пример 2:
Интегрирование иррациональных функций
Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может.
Иррациональной называется функция, у которой переменная находится под знаком корня. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Для нахождения таких интегралов чаще всего используют метод замены переменной.
Для интегрирования иррациональной функции, содержащей x^(m/n)
используется подстановки u = x^(1/n)
.
Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме u = x^(1/n)
, где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.
Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражения вида:
интегрируется с помощью подстановки:
Пример 1:
Пример 2: