5. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование рациональных функций и некоторых иррациональных.

Функция F(x) называется первообразной для функции y = f(x) на промежутке (a; b), конечном или бесконечном, если функция F(x) дифференцируема в каждой точке этого промежутка и ее производная удовлетворяет следующему равенству:

F'(x) = f(x)

Это равенство можно записать через дифференциалы:

Пример:

Функция F(x) = (x^2)/2 является первообразной для функции f(x) = x, т.к.:

Совокупность всех первообразных функции y = f(x), определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции y = f(x) и обозначается символом ∫f(x)dx.

То есть:

∫f(x)dx = F(x) + C

Знак ∫ называется интегралом, f(x)dx - подынтегральным выражением, f(x) - подынтегральной функцией, а x - переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием функции f(x). Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Правила интегрирования

Интеграл от произведения числа на функцию равен произведения этого числа на интеграл от функции:

∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx; k - любое число

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

Интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки.

Пусть x=ϕ(t), где функция ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ′(t), а между переменными x и t существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство:

∫f(x)dx = ∫f(ф(t)) * ф'(t)dt

Интегрирование рациональных функций

Рациональная функция - это дробь вида P(x)/Q(x), числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Для интегрирования рациональной функции используется следующая последовательность шагов:

Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение.
Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя методнеопределенных коэффициентов.
Вычислить интегралы от простейших дробей.

Пример 1:

Пример 2:

Интегрирование иррациональных функций

Класс иррациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования просто быть не может.

Иррациональной называется функция, у которой переменная находится под знаком корня. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Для нахождения таких интегралов чаще всего используют метод замены переменной.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей x^(m/n) используется подстановки u = x^(1/n).

Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме u = x^(1/n), где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.

Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражения вида:

интегрируется с помощью подстановки:

Пример 1:

Пример 2: