4. Дифференцирование функций нескольких переменных. Дифференциал и частные производные. Производная по направлению.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Для функций нескольких переменных вводится понятие частной производной первого порядка, то есть производная функции по одной из переменной при условии, что остальные переменные фиксированы.

Например, для функции двух переменных z = f(x, y) рассматриваются частные производные по переменной x и по переменной y. Они обозначаются следующем образом:

Частными производными второго порядка функции u = f(x1,x2,...,xn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Производные второго порядка обозначаются следующим образом:

или

Смешанная частная производная второго порядка функции z = f(x_1, x_2) по переменным x_1 и x_2 обозначаются:

Порядок дифференцирования не имеет значения, то есть выполняется свойство:

  • Фиксируем x_2. Считая функцию z = f(x_1, x_2) одной переменной от x_1 находим ее производную:
  • Фиксируем x_1 и по правилу дифференцирования функции одной переменной находим производную функции z = f(x_1, x_2) по x_2 и получаем:
Дифференциалом функции f(x) в точке x называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f'(x)Δx или dy = f'(x)dx.

Приращением функции y = f(x) в точке x_0, соответствующее приращению аргумента Δx = x - x_0, называется величина: Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)
Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом.

Частные дифференциалы обозначаются так:

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал.

Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

Производная по направлению

Теорема о вычислении производной по направлению.

Пусть действительная функция f(x, y, z) на открытом множестве G дифференцируема в точке M(x, y, z) ∈ GТогда в этой точке функция f имеет производные по направлению любого единичного вектора 

причем справедливо равенство,

Эта формула является следствием правила нахождения производной сложной функции.