Нобелевский лауреат против Копенгагена: как Герард 'т Хоофт предлагает вернуть детерминизм в квантовую физику
Лауреат Нобелевской премии Герард 'т Хоофт предлагает революционную детерминистическую интерпретацию квантовой механики через клеточные автоматы. Квантовые эффекты — лишь инструмент анализа классических систем. Теория объясняет коллапс волновой функции и проблему измерения без парадоксов Копенгагенской интерпретации, примиряя супердетерминизм с теоремой Белла.
Оригинальная книга доступна для свободного скачивания:
📖 The Cellular Automaton Interpretation of Quantum Mechanics
Gerard 't Hooft, Springer 2016.
Chapter 1 — Motivation for This Work
Хоофт выдвигает радикальную теорию, согласно которой квантовая механика может иметь детерминистическую основу в виде клеточного автомата. Несмотря на успехи квантовой механики, автор считает её интерпретацию загадочной и неполной. Главное препятствие — теорема Белла, которая, казалось бы, исключает локальные скрытые переменные. Хоофт утверждает, что эти доказательства наивны, поскольку не учитывают супердетерминизм — идею о том, что наблюдатели также подчиняются детерминистическим законам и не обладают «свободой воли» в абсолютном смысле. В детерминистической теории действия экспериментаторов имеют корни в прошлом, включая отдалённое прошлое. Автор предлагает рассмотреть Вселенную как клеточный автомат — систему, в которой состояния представлены последовательностями целых чисел, эволюционирующих по классическим алгоритмам. На больших масштабах такая система может проявлять квантово-механическое поведение как статистическое следствие сложности микроскопических процессов.
Chapter 2 — Deterministic Models in Quantum Notation
Детерминистические модели в квантовой нотации
Хоофт показывает, как любую детерминистическую систему можно переформулировать в квантово-механических терминах. Онтологические состояния |A⟩ образуют ортонормальную основу пространства Гильберта. Эволюция описывается унитарным оператором U(t) = e^(-iHt), где гамильтониан H можно всегда найти, хотя и не единственным образом. Центральный пример — модель зубчатого колеса с N состояниями, которые циклически переходят друг в друга. После дискретного преобразования Фурье эта система оказывается эквивалентной атому в магнитном поле Зеемана с равноудалёнными энергетическими уровнями. Автор вводит три типа операторов: beables (диагональные в онтологическом базисе), changeables (переставляющие онтологические состояния) и superimposables (создающие суперпозиции). Показано, что любая конечная детерминистическая система может быть представлена как набор зубчатых колёс с различными периодами, что приводит к сложным энергетическим спектрам, характерным для квантовых систем.
Chapter 3 — Interpreting Quantum Mechanics
Интерпретация квантовой механики
Хоофт критикует копенгагенскую интерпретацию за запрет на вопросы о реальности, предлагая «эйнштейновский» подход, который допускает существование определённой реальности за квантово-механическими описаниями. Центральная проблема — парадокс измерения и коллапс волновой функции, который Хоофт объясняет без модификации уравнения Шрёдингера: поскольку Вселенная всегда находится в единственном онтологическом состоянии, классические результаты измерений автоматически оказываются «коллапсировавшими». Детально анализируется теорема Белла и неравенство CHSH. Автор показывает, что нарушение этих неравенств может быть объяснено через сильные пространственно-подобные корреляции между «скрытыми переменными». Вводится концепция «функции мышиного помета» — трёхточечной корреляционной функции между углами поляризаторов Алисы, Боба и поляризацией фотонов. Хоофт утверждает, что онтологические состояния содержат нелокальную информацию о будущем, но эта информация фундаментально недоступна для наблюдения, что не нарушает причинность.
Chapter 4 — Deterministic Quantum Mechanics
Детерминистическая квантовая механика
Хоофт формулирует гибридную теорию, которая является пересечением квантовой механики и классической теории. С одной стороны, можно начать с квантовой механики и постулировать существование специального онтологического базиса, в котором уравнение Шрёдингера переставляет базисные элементы друг в друга. С другой стороны, можно начать с любой классической системы и построить для неё пространство Гильберта. Ключевое наблюдение: процесс измерения превращает единичную информацию на квантовом уровне в макроскопически различимые состояния. Большие классические объекты должны быть диагональными в онтологическом базисе, поскольку вероятность того, что планета неотличима от вакуума, экспоненциально мала. Это решает проблему коллапса: состояния автоматически коллапсируют в классически различимые конфигурации без нарушения унитарности. Правило Борна следует из требования ортонормальности преобразований между базисами — вероятности финальных состояний совпадают с вероятностями начальных онтологических состояний.
Chapter 5 — Concise Description of the CA Interpretation
Краткое описание КА-интерпретации
Хоофт систематически излагает Интерпретацию Клеточного Автомата (КА). Время-обратимый клеточный автомат подчиняется локальным правилам эволюции на дискретной решётке пространства-времени. Универсальная теория КА предполагает, что фундаментальное уравнение Шрёдингера имеет онтологический базис, отображающий систему на классический автомат. Интерпретация КА утверждает, что Вселенная всегда находилась и будет находиться в едином эволюционирующем онтологическом состоянии. Это означает отсутствие суперпозиций на фундаментальном уровне и автоматическое решение проблемы измерения. Проблема перепутанности решается через супердетерминизм и сильные корреляции. Вакуумное состояние не онтологично, а представляет суперпозицию многих онтологических состояний, что объясняет экспоненциальный распад частиц и другие квантовые явления.
Chapter 6 — Quantum Gravity
Хоофт обсуждает планковский масштаб (10^-35 м), где сходятся квантовая механика, специальная теория относительности и гравитация. В этом масштабе ожидается дискретность пространства-времени, но искривление создаёт дефекты в любой регулярной решётке. Гравитация дестабилизирует системы, притягивая массы и создавая ещё большие массы. Микроскопические чёрные дыры должны играть роль виртуальных частиц в вакуумных флуктуациях. Излучение Хокинга показывает, что число квантовых состояний черной дыры растёт пропорционально площади поверхности, а не объёму — это голографический принцип. Количество состояний внутри объёма V не может превышать количество состояний чёрной дыры того же размера (предел Бекенштейна). Это создаёт проблемы для детерминистических моделей — дискретная информация должна распределяться в искривлённом пространстве-времени, что трудно согласовать с непрерывными симметриями вроде Лоренц-инвариантности. Автор предполагает, что загадки квантовой гравитации тесно связаны с проблемами интерпретации квантовой механики, и их решение потребует объединённого подхода к пониманию природы пространства-времени на фундаментальном уровне.
Chapter 7 — Information Loss
Хоофт исследует модели клеточных автоматов с потерей информации, в которых различные начальные состояния эволюционируют в одно конечное состояние. Это нарушает обратимость по времени, делая эволюционный оператор неунитарным. Автор вводит концепцию классов информационной эквивалентности: два состояния эквивалентны, если они через конечное время эволюционируют в одно состояние. Эти классы становятся элементами онтологического базиса квантовой теории. Удивительно, что квантовая механика может восстановить обратимость по времени даже в системах с потерей информации. Это достигается использованием эрмитово-сопряжённого оператора U† вместо обратного U^-1. Потеря информации может объяснить стрелу времени: микроскопические законы необратимы, но квантовые уравнения остаются обратимыми. Классические состояния, будучи онтологическими, не инвариантны относительно обращения времени. Автор предполагает связь между информационными классами эквивалентности и калибровочными классами эквивалентности. В контексте чёрных дыр потеря информации на классическом уровне совместима с унитарностью квантовой микрофизики через голографический принцип — информация сохраняется на горизонте событий.
Chapter 8 — More Problems
Хоофт обсуждает оставшиеся проблемы в программе клеточных автоматов. Главный вызов — создание клеточного автомата, воспроизводящего Стандартную модель частиц. Автор подчёркивает, что его цель не заменить квантовую механику, а показать, что она может быть инструментом для анализа классических систем. Ключевые выводы включают: существование единственной классической Вселенной (не множества миров), точную справедливость вероятностей Борна, автоматический коллапс волновой функции без модификации уравнения Шрёдингера, и локальность базовой теории при нелокальности квантового преобразования. Проблема иерархии представляет особую трудность: огромные различия между планковским масштабом (10^19 ГэВ), ядерным масштабом (~1 ГэВ) и массой электрона. Происхождение этих масштабов остаётся загадкой. В дискретных клеточных автоматах могут происходить особые события при регулярных решётках (нулевая кривизна), что связано с космологической константой (~10^-122). Автор предполагает, что теория должна объяснять редкие события, такие как массовые термы фермионов, но естественный способ включения иерархий масштабов пока неясен.
Chapter 9 — Alleys to Be Further Investigated and Open Questions
Направления для дальнейших исследований и открытые вопросы
Хоофт очёрчивает нерешённые проблемы теории клеточных автоматов. Центральная проблема — позитивность гамильтониана. Требуется одновременное выполнение четырёх условий: сохранение энергии, ограниченность снизу, экстенсивность (локальность) и генерация правильной эволюции. Обычно нарушается либо ограниченность снизу, либо локальность. Автор подозревает, что решение связано с квантовой гравитацией и локальными временными трансляциями. Вторая квантизация предлагает частичное решение через интерпретацию отрицательных энергий как дырок античастиц, но работает только для фермионов. Потеря информации может объяснить необратимость времени и связана с калибровочными эквивалентностями. Автор предполагает, что инфо-эквивалентные классы могут совпадать с локальными калибровочными классами. Для общей относительности это означало бы, что кривизна пространства-времени возникает из потери информации о локальных координатах. Голография и излучение Хокинга указывают на неизбежность потери информации в фундаментальной физике. Чёрные дыры демонстрируют, как классическая потеря информации совместима с квантовой унитарностью через принцип голографии.
Chapter 10 — Conclusions
В заключительной главе первой части Хоофт подводит итоги интерпретации клеточных автоматов (CAI). Теория утверждает квантовую природу Вселенной при классическом объяснении. Клеточный автомат формально эквивалентен квантовой теории, но получение локальности и позитивности гамильтониана остаётся сложной задачей. CAI предполагает существование онтологической теории, описывающей явления на планковском масштабе через обработку дискретной информации. Шаблоны (templates) — элементы гильбертова пространства, позволяющие вычислять коллективное поведение. Контрфактическая определённость отвергается — операторы, которые нельзя измерить, не имеют определённых значений. Супердетерминизм объясняет нарушение неравенств Белла через сильные пространственноподобные корреляции. Запутанность возникает из корреляций онтологических переменных. Выбор базиса: онтологический базис особый, но все обычные базисы эквивалентны. Скрытая информация о будущем существует нелокально, но не может быть использована практически. Вторая квантизация критически важна для работающих моделей. Автор признаёт неполноту теории и необходимость дальнейших исследований, особенно в области взаимодействий и гравитации.
Chapter 11 — Introduction to Part II
Вторая часть книги посвящена техническим расчётам, отложенным из первой части. Хоофт демонстрирует, как квантовая механика может использоваться как математический инструмент для анализа классических систем, подобно двумерной модели Изинга. Модель шестерёнок связывается с гармоническим ротатором и континуумным пределом. Проблема локальности гамильтониана рассматривается через конструкцию вакуумного состояния. Фермионы обрабатываются элегантно через преобразование Жордана-Вигнера. Безмассовые нейтрино представляются как движущиеся плоские мембраны. PQ-теория связывает вещественные и дискретные числа через эллиптические тета-функции. Теория струн естественно возникает в рамках подхода. Симметрии обсуждаются в контексте CAI. Дискретный гамильтонов формализм расширяется на дискретные переменные. Квантовая теория поля рассматривается как эффективное описание. Клеточные автоматы изучаются через разложение BCH. Проблема квантовой локальности анализируется детально. Автор подчёркивает, что расчёты не должны отпугивать читателя — их можно пропустить, сосредоточившись на общей картине. Цель — продемонстрировать инструменты и проверить внутреннюю согласованность предлагаемых моделей.
Chapter 12 — More on Cogwheels
Хоофт развивает математический аппарат моделей шестерёнок. Шестерёнка с N зубцами интерпретируется как представление группы SU(2) с полным угловым моментом ℓ = (N-1)/2. Вводятся операторы углового момента L₁, L₂, L₃, удовлетворяющие стандартным коммутационным соотношениям. Определяются операторы x и p как комбинации операторов углового момента, которые при низких энергиях воспроизводят коммутационные соотношения позиции и импульса. Гармонический ротатор описывает прецессирующий волчок, эквивалентный гармоническому осциллятору в низкоэнергетическом пределе. Для бесконечных дискретных систем автор выводит универсальное определение квантового гамильтониана через ряды Фурье. Системы, непрерывные по времени, требуют особого подхода для сохранения эрмитовости. Проблема нижней границы энергии возникает в континуумном пределе, где спектр простирается от -∞ до +∞. Предлагаются решения через аналитичность в комплексном времени или вторую квантизацию. Гармонический осциллятор рассматривается как детерминистическая система в замаскированном виде. Общие непрерывные модели представляются как системы многих гармонических осцилляторов с сохраняющимися величинами, определяющими периоды колебаний.
Chapter 13 — The Continuum Limit of Cogwheels, Harmonic Rotators and Oscillators
Континуумный предел шестерёнок, гармонических ротаторов и осцилляторов
Автор исследует два типа континуумных пределов для моделей шестерёнок. При N→∞ с фиксированным временным шагом получается объект, движущийся по одномерной решётке («рейка»). При фиксированном периоде T и δt→0 получается система с бесконечно малыми зубцами, описываемая углом φ(t) = 2πt/T. Отображение детерминистической периодической системы на гармонический осциллятор требует осторожности для сохранения унитарности. Хоофт использует двухшаговый процедуру: сначала преобразование в гармонический ротатор через группу SU(2), затем континуумный предел. В операторном φ определяется через операторы лестницы, что приводит к нетривиальным коммутационным соотношениям. В x-представлении волновые функции выражаются через тета-функции Якоби. Преобразование от (ε,κ) к (x,p) базису включает эллиптические функции и имеет особенности. Автор демонстрирует явные вычисления внутренних произведений и матричных элементов. Результат показывает, как детерминистическая вращающаяся система может быть точно отображена на квантовый гармонический осциллятор, сохраняя все квантовые свойства, включая дискретный спектр энергии и правильные коммутационные соотношения.
Chapter 14 — Locality
Центральная проблема — конструкция локального гамильтониана из клеточного автомата. Хоофт анализирует ряды Фурье для гамильтониана и показывает, что медленная сходимость приводит к нелокальности. Проблема усугубляется требованием нижней границы энергии в точке ω = 0, где происходит скачок θ-функции. Быстрые осцилляции требуют большого числа Фурье-компонент, создавая взаимодействия на больших расстояниях порядка T²M_Pl. Автор предлагает различные стратегии: использование разложения arcsin(z) для центральной части спектра, умножение на cos ω/|cos ω| для получения более крутых кривых, и растяжение спектра. Цель — сместить важную физику от краёв спектра к центру, где ряды Фурье сходятся быстрее. Вторая квантизация предлагается как лучшее решение: отрицательные энергетические состояния интерпретируются как дырки античастиц, что позволяет работать в центральной части спектра. Диаграммы показывают, как различные разложения влияют на форму спектра. Автор подчёркивает, что нелокальность квантового гамильтониана не означает нелокальность исходного автомата — это артефакт попытки описать дискретную систему дифференциальными уравнениями. Требуется баланс между точностью и локальностью.
Chapter 15 — Fermions
Хоофт демонстрирует элегантный подход к фермионам через преобразование Жордана-Вигнера. Детерминистическая модель с M состояниями преобразуется в систему с 2^M состояниями, описывающую произвольное число фермионов (0 ≤ N ≤ M). Булевы переменные (0 или 1) в каждом узле эволюционируют согласно исходному закону эволюции. Антикоммутирующие фермионные поля ψᵢ создаются через преобразование Жордана-Вигнера, вводящее знаки минус для обеспечения правильной статистики. Модель безмассовых нейтрино в 3+1 измерениях представляет особый интерес. Автор конструирует полный набор «наблюдаемых» (beables): единичный вектор q̂ (направление движения), переменная r (позиция вдоль q̂), и булева переменная s (направление движения). Эти операторы коммутируют во все времена, описывая детерминистическую систему плоских листов, движущихся со скоростью света. Детальная алгебра показывает, как восстановить стандартные операторы x, p, σ из онтологических переменных. Преобразования включают сложные угловые зависимости из-за спина 1/2. Вторая квантизация решает проблему отрицательных энергий через интерпретацию Дирака. Вакуумные корреляции демонстрируют сильные пространственноподобные корреляции, важные для понимания парадоксов квантовой механики.
Chapter 16 — PQ Theory
Хоофт разрабатывает систематический подход к связи непрерывных и дискретных теорий. Вещественное число разлагается на целую часть и дробную (угловую) часть. Ключевая идея: координата q = X + ξ/2π, импульс p = 2πK + κ, где X, K — целые числа, ξ, κ — углы. Удивительный результат: [ξ,κ] = 0, то есть углы коммутируют. Это позволяет рассматривать тор (ξ,κ) как альтернативное описание прямой линии. Автор использует эллиптические тета-функции для выражения волновых функций и вычисления матричных элементов. Теория связывает бесконечномерные гильбертовы пространства (вещественные числа) с конечномерными (дискретные переменные). Ограничения возникают из требования физической осмысленности: одно состояние должно быть исключено для сохранения нормировки. Многомерные обобщения включают анизотропные решётки и различные граничные условия. PQ-теория обеспечивает математический фундамент для изучения дискретных аналогов непрерывных систем. Особое внимание уделяется правильной нормировке состояний и унитарности преобразований. Эллиптические функции естественно возникают как следствие периодичности угловых переменных. Теория находит применение в струнных моделях и других системах с компактными измерениями.
Chapter 17 — Models in Two Space-Time Dimensions Without Interactions
Модели в двух пространственно-временных измерениях без взаимодействий
Хоофт исследует двумерные модели безмассовых бозонов и их связь с клеточными автоматами. В 1+1 измерениях скалярное поле разлагается на левые и правые моды, движущиеся со скоростью света в противоположных направлениях. Автор показывает, как вторично квантованная теория безмассовых бозонов точно соответствует клеточному автомату с целыми числами на двумерной решётке. Ключевое наблюдение: струны естественно возникают в этом формализме. Квантованные струны в непрерывном пространстве оказываются эквивалентными классическим струнам на пространственно-временной решётке с шагом a = 2π√α'. Это поразительная связь между квантовой теории струн и дискретными моделями. Автор анализирует спектр струнных возбуждений, суперструны и продольные моды. Компактифицированная модель представляет альтернативный онтологический базис. Обсуждается нестабильность в высших размерностях и абстрактный формализм многомерного гармонического осциллятора. Струнные взаимодействия кратко рассматриваются как детерминистические процессы соединения и разделения струн. Результаты показывают глубокие связи между дискретными детерминистическими системами и современными квантовыми теориями, включая струнную теорию. Это открывает новые перспективы для понимания фундаментальной природы квантовых полей.
Chapter 18 — Symmetries
Симметрии представляют сложную проблему в интерпретации клеточных автоматов, поскольку дискретные модели обычно имеют только дискретные симметрии решётки. Хоофт исследует, как непрерывные симметрии могут возникнуть из дискретных основ. Классические и квантовые симметрии различаются: квантовые симметрии могут связывать онтологические состояния с неонтологическими. Ключевая проблема — реализация непрерывных трансляций и вращений на решётке. Автор предлагает несколько подходов: покрытие зоны Бриллюэна круговыми областями, использование зарядов Нётер и дискретных подгрупп, и конструкция вещественных операторов p, q из дискретных P, Q. Важное наблюдение: квантовые симметрии могут существовать без соответствующих классических симметрий в автомате. Это объясняется тем, что симметрии действуют в пространстве шаблонов, а не онтологических состояний. Большие группы симметрий могут возникнуть в CAI через сложные нелокальные преобразования онтологического базиса. Струнная теория представляет особый интерес, поскольку демонстрирует, как группа Пуанкаре может быть восстановлена в континуумном пределе. Автор подчёркивает, что симметрии остаются такими же важными в CAI, как и в обычной физике, но их реализация требует новых подходов и математических техник.
Chapter 19 — The Discretized Hamiltonian Formalism in PQ Theory
Дискретизованный гамильтонов формализм в PQ-теории
Хоофт развивает гамильтонов формализм для дискретных переменных, эволюционирующих в дискретном времени. Удивительно, что «дискретная гамильтонова механика» оказывается почти такой же элегантной, как обычная дифференциальная форма. Ключевое различие: гамильтониан легко выбрать ограниченным снизу в дискретном случае. Автор вводит пары дискретных переменных (Pᵢ, Qᵢ), эволюционирующих согласно дифференциальным уравнениям. Вакуумное состояние определяется как состояние с наименьшей дискретной энергией, что решает проблему позитивности. Гамильтонова задача для дискретных систем формулируется через целочисленный гамильтониан, сохраняющийся на классических траекториях. Автор анализирует одномерные и многомерные случаи, выводит лагранжиан и рассматривает дискретные теории поля. Важное наблюдение: переход от целочисленного к квантовому гамильтониану включает сложные матричные элементы и может нарушать локальность. PQ-решётка в 1+1 измерениях иллюстрирует богатую структуру дискретных фазовых пространств. Области гладкости целочисленного гамильтониана определяют применимость континуумных приближений. Результаты показывают, что дискретная механика может обеспечить устойчивый фундамент для квантовых теорий, избегая проблем с отрицательными энергиями.
Chapter 20 — Quantum Field Theory
Этот обзорный раздел описывает ключевые особенности квантовых теорий поля, которые должны воспроизводиться в детерминистических моделях. Хоофт подчёркивает три фундаментальных свойства: невозможность передачи полезной информации быстрее скорости света, сохранение вероятности и локальность. Бозонные и фермионные поля подчиняются различным статистикам, но обе могут быть описаны в рамках канонической процедуры вторичной квантизации. Теория возмущений — основной инструмент для вычислений, хотя ряды обычно не сходятся. Автор обсуждает алгебраическую структуру общих перенормируемых релятивистских квантовых теорий поля. Вакуумные флуктуации и корреляции играют центральную роль, создавая нетривиальные коммутаторы внутри светового конуса и исчезающие коммутаторы вне его. Это обеспечивает каузальность: наблюдаемые в пространственноподобных точках коммутируют. Группа перенормировок описывает поведение теории на различных энергетических масштабах. Критически важно, что пространственноподобные корреляции не нарушают каузальность — они не позволяют передавать информацию. Эти корреляции могут быть очень сильными (как в критических точках) и играют важную роль в понимании квантовых парадоксов. Хоофт подчёркивает, что все эти свойства должны естественно возникать в успешных детерминистических моделях.
Chapter 21 — The Cellular Automaton
Хоофт разрабатывает технические детали конструкции квантового гамильтониана для клеточных автоматов. Ключевая идея — локальная обратимость по времени через переключение между чётными и нечётными узлами. Это обеспечивает унитарность эволюции при сохранении локальности. Дискретный классический гамильтониан конструируется через принцип наименьшего действия для дискретных систем. Центральный результат — разложение Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа (BCH), выражающее квантовый гамильтониан через коммутаторы эволюционных операторов. Это красивое выражение было бы идеальным, если бы ряд сходился. К сожалению, разложение BCH не сходится для общих клеточных автоматов. Автор исследует альтернативные подходы и анализирует классы сопряжённости эволюционных операторов. Несходимость, вероятно, связана с игнорированием гравитационных эффектов и нарушением Лоренц-инвариантности. Хоофт предлагает использовать BCH-разложение для демонстрации принципов, признавая его ограничения. Детали требуют включения специальной и общей теории относительности для полной корректности. Тем не менее, подход иллюстрирует, как детерминистические автоматы могут генерировать квантово-механическое поведение через сложные нелокальные преобразования дискретных состояний в квантовые суперпозиции.
Chapter 22 — The Problem of Quantum Locality
Проблема квантовой локальности
Заключительный технический раздел анализирует центральную проблему: как получить локальные квантовые теории из локальных клеточных автоматов. Хоофт исследует вторую квантизацию в автоматах, где частицы интерпретируются как возбуждения над вакуумным состоянием. Краевые состояния создают особые проблемы — это состояния с нулевым импульсом, простирающиеся до «края Вселенной». Невидимые скрытые переменные возникают естественно: онтологическая информация скрыта в корреляциях, недоступных для наблюдения. Роль гравитации может быть существенной для разрешения проблем локальности. Автор предполагает, что квантовая гравитация и детерминистическая квантовая механика должны решаться совместно. Принцип голографии предполагает, что информация в объёме кодируется на поверхности, что может объяснить нелокальности в квантовом гамильтониане. Соотношения неопределённости δx·δt ≥ L²_Pl могут требовать нелокальности гамильтониана при бесконечно малых временных интервалах. Взаимодействия вводятся как редкие переходы в автомате, обрабатываемые теорией возмущений. Хотя ряды не сходятся, они дают практически полезные результаты, как в обычной квантовой теории поля. Окончательное решение, вероятно, требует полного понимания квантовой гравитации на планковском масштабе.
Chapter 23 — Conclusions of Part II
Хоофт подводит итоги технических результатов и оценивает достижения программы клеточных автоматов. Основные успехи включают: демонстрацию того, что детерминистические системы могут воспроизводить квантовую механику, разработку математических инструментов для преобразований между классическими и квантовыми описаниями, и конструкцию конкретных моделей (шестерёнки, нейтрино, струны). Ключевые нерешённые проблемы: позитивность и локальность гамильтониана, включение взаимодействий, воспроизведение Стандартной модели. Автор подчёркивает, что трудности, вероятно, связаны с игнорированием гравитационных эффектов. Квантовая гравитация может быть ключом к разрешению противоречий между детерминизмом и квантовым поведением. Вторая квантизация показала себя перспективной для фермионов, но бозонный случай остаётся сложным. Корреляции в вакууме объясняют нарушения неравенств Белла без нарушения локальности. Перспективы включают: поиск более реалистичных моделей, включение гравитации, понимание роли информационных потерь. Автор выражает осторожный оптимизм: хотя полная теория ещё не построена, принципиальные препятствия не обнаружены. Программа обеспечивает новый взгляд на основы квантовой механики и может привести к революционному пониманию природы реальности на фундаментальном уровне.