Революция в теории узлов
Этот узел имеет код Гаусса O1U2O3U1O2U3.
В XIX веке лорд Кельвин выдвинул смелую гипотезу о том, что элементы — это узлы в «эфире». Водород был бы одним видом узлов, кислород — другим, и так далее по всей периодической таблице элементов. Эта идея побудила Питера Гатри Тейта составить подробные и довольно красивые таблицы узлов, чтобы выяснить, когда два узла действительно отличаются друг от друга. С точки зрения физики Кельвин и Тейт были неправы: атомная теория вскоре сделала теорию эфира устаревшей. Но с математической точки зрения это была золотая жила: с тех пор активно развивается раздел математики, известный как «теория узлов».
В своей статье «Комбинаторная революция в теории узлов», которая вышла в декабрьском номере журнала Notices of the AMS за 2011 год, Сэм Нельсон описывает новый подход к теории узлов, получивший распространение в последние несколько лет, а также загадочные новые объекты, похожие на узлы, которые были обнаружены в ходе этого процесса.
Как давно известно морякам, существует множество различных видов узлов; на самом деле их разнообразие бесконечно. *Математический* узел можно представить в виде перекрученного круга: вспомните крендель, который представляет собой перекрученный круг из теста, или резиновую ленту, которая является «не-узлом», потому что она не перекручена. Математики изучают закономерности, симметрию и асимметрию узлов и разрабатывают методы, позволяющие определить, действительно ли два узла отличаются друг от друга.
С математической точки зрения верёвка, из которой сплетён узел, представляет собой одномерный объект, а сам узел находится в трёхмерном пространстве. Рисунки узлов, подобные тем, что сделал Тейт, представляют собой проекции узла на двумерную плоскость. На таких рисунках пересечения верёвки принято изображать в виде ломаных и непрерывных линий. Если три или более нитей узла накладываются друг на друга в одной точке, мы можем слегка сдвинуть нити, не меняя узла, так, чтобы каждая точка на плоскости находилась не более чем под двумя нитями узла. Плоская диаграмма узла — это изображение узла, нарисованное на двухмерной плоскости, на котором каждая точка диаграммы соответствует не более чем двум точкам узла. Плоские диаграммы узлов уже давно используются в математике для представления и изучения узлов.
Как сообщает Нельсон в своей статье, математики разработали различные способы представления информации, содержащейся в диаграммах узлов. Один из примеров — код Гаусса, представляющий собой последовательность букв и цифр, в которой каждому пересечению в узле присваивается номер и буква O или U в зависимости от того, проходит ли пересечение сверху или снизу. Код Гаусса для простого узла может выглядеть так: O1U2O3U1O2U3.
В середине 1990-х годов математики обнаружили нечто странное. Существуют коды Гаусса, для которых невозможно построить плоские диаграммы узлов, но которые, тем не менее, в определённом смысле ведут себя как узлы. В частности, эти коды, которые Нельсон называет *неплоскими кодами Гаусса*, отлично работают в определённых формулах, используемых для изучения свойств узлов. Нельсон пишет: «Плоский код Гаусса всегда описывает [узел] в трёхмерном пространстве. Что же может описывать неплоский код Гаусса?» Как оказалось, существуют «виртуальные узлы», которые имеют корректные коды Гаусса, но не соответствуют узлам в трёхмерном пространстве. Эти виртуальные узлы можно исследовать, применяя комбинаторные методы к диаграммам узлов.
Точно так же, как открылись новые горизонты, когда люди осмелились задуматься о том, что произойдёт, если у числа -1 будет квадратный корень, и таким образом открыли комплексные числа, которые с тех пор тщательно изучаются математиками и повсеместно используются в физике и инженерии, математики обнаруживают, что уравнения, которые они использовали для изучения обычных узлов, порождают целую вселенную «обобщённых узлов», обладающих своими особыми свойствами. Хотя на первый взгляд они кажутся чем-то эзотерическим, эти обобщённые узлы можно интерпретировать как знакомые математические объекты. «Более того, — пишет Нельсон, — классическая теория узлов является частным случаем новой обобщённой теории узлов».