Математики гонятся за числом, которое может раскрыть суть математики

Некоторые числа настолько невообразимо велики, что выходят за рамки современной математики. Сейчас математики приближаются к числу, которое может обозначать край этой причудливой бездны

Все это вытекает из, казалось бы, простого вопроса: как узнать, будет ли компьютерная программа работать вечно?
Ответ на этот вопрос начинается с математика Алана Тьюринга. В 1930-х годах он показал, что любой компьютерный алгоритм можно имитировать, представив себе простую «машину Тьюринга», которая читает и записывает 0 и 1 на бесконечно длинной ленте, следуя набору инструкций, называемых состояниями, причем более сложные алгоритмы требуют больше состояний.

Для каждого количества состояний, например 5 или 100, существует конечное число соответствующих машин Тьюринга, но неясно, как долго каждая из этих машин должна работать. Самое продолжительное время работы для каждого количества состояний называется числом Busy Beaver или BB(n), и эта последовательность растет невероятно быстро: BB(1) равно 1, BB(2) равно 6, но пятое число Busy Beaver равно 47 176 870.

Точное значение следующего числа Busy Beaver, шестого, неизвестно, но онлайн-сообщество под названием Busy Beaver Challenge пытается его обнаружить — они обнаружили BB(5) в 2024 году, положив конец 40-летним поискам. Теперь участник, известный как «mxdys», обнаружил, что оно должно быть как минимум таким же большим, что даже для его описания требуется некоторое объяснение.

«Это число настолько далеко за пределами физического, что это даже не смешно», — говорит Шон Лигоцки, инженер-программист и участник Busy Beaver Challenge. Он сравнивает поиск по всем возможным машинам Тьюринга с рыбалкой в каком-то глубоком математическом море, где в темноте плавают только странные, экзотические куски кода.

Новая граница для BB(6) настолько велика, что требует математического языка, выходящего за рамки возведения в степень — практики возведения одного числа n в степень другого x, или nx, например 2³, что равно 222 = 8. Во-первых, существует тетрация, иногда записываемая как xn, которая включает в себя итерационное возведение в степень, поэтому 32 будет 2, возведенным в степень 2, в степень 2, что равно 16.

Примечательно, что mxdys показал, что BB(6) как минимум в 2 раза больше тетрации 2 в степени тетрации 2 в степени тетрации 9, башни итерационной тетрации, где каждая тетрация, в свою очередь, представляет собой башню итерационного возведения в степень. Число всех частиц во Вселенной выглядит ничтожным по сравнению с этим, говорит Лигоцки.

Но числа Busy Beaver важны не только из-за их абсурдного размера. Тьюринг доказал, что должны существовать некоторые машины Тьюринга, поведение которых невозможно предсказать в рамках теории ZFC, основы, на которой построена вся стандартная современная математика. Он был вдохновлен теоремой Гёделя о неполноте, которая показала, что правила самой ZFC не могут быть использованы для доказательства того, что теория гарантированно абсолютно свободна от всех противоречий.

«Изучение чисел Busy Beaver делает явления, обнаруженные Гёделем и Тьюрингом почти столетие назад, количественными и конкретными», — говорит Скотт Ааронсон из Техасского университета в Остине. «Вместо того чтобы просто говорить, что машины Тьюринга должны ускользать от способности ZFC определять их поведение после некоторой конечной точки, мы теперь можем спросить, происходит ли это уже с 6-состоящими машинами или только с 600-состоящими машинами?» Исследователи пока доказали, что BB(643) ускользнет от теории ZFC, но многие из меньших чисел еще не исследованы.