Футбол и математика. Часть 3
Сегодня мы продолжим изучение и темой будет введение трехочковой системы при подсчете очков как это повлияло на футбол и что нам дает.
Поехали:
Хилл – прекрасный пример «эксперта». Его телевизионные анализы никогда не потворствовали страстям или чувствам поклонников, а были сфокусированы на том, что он считал сутью. Он был логичным и рациональным, и у него, казалось, была непогрешимая вера в его собственные рассуждения – по крайней мере так это выглядело по телевизору. Мое собственное воспитание заставляло меня сомневаться в Хилле. Я любил математику, поэтому верил в силу рациональности и тщательно упорядоченную мысль. Но в жизни есть место не только логике. Есть место и чувству, которое ощущает девятилетний мальчик, когда видит, как маленькая страна ведет в счете в матче против футбольной нации всех времен. В этом должно быть что-то стоящее!
Теперь же, находясь в еще большем смятении, я собираюсь защищать Джимми Хилла. Не его образ на экране, а ту работу за кулисами, которая внесла стратегические изменения в футбол. В конце 1970-х он продвигал идею давать три очка за победу в матче вместо двух. В Англии его предложение было принято в 1981 году, и в течение следующих десяти лет переход на трехочковую систему совершили в Турции, Греции, Скандинавских странах, Италии и Ирландии. В 1994 году и Шотландия наконец последовала этому примеру, а в 1995 году FIFA приняла трехочковую систему за стандарт.
Если даже Шотландия прислушалась к совету Хилла, то безусловно стоит более внимательно изучить изменения, которые он отстаивал. Нам нужно стратегически взглянуть на то, как количество очков за победу изменяет стимулы команды атаковать и защищаться.
Трехочковая система не подчиняется простой математике со школьного двора: это означает, что размер пирога увеличивается при выигрыше и уменьшается при ничьей. Это не имеет смысла, учитывая наши знания о мясных пирогах.
На первый взгляд два очка за победу казались вполне разумными. Команды борются за два очка: если вы выиграете, вы получите оба; если сыграете вничью – то поделите очки между собой. Матч представляет собой мясной пирог фиксированного размера. Если вы победите, то получите весь пирог, а если нет – он будет разрезан посередине. Трехочковая система не подчиняется простой математике со школьного двора: это означает, что размер пирога увеличивается при выигрыше и уменьшается при ничьей. Это не имеет смысла, учитывая наши знания о мясных пирогах.
Однако, хотя система с двумя очками может иметь смысл, она не дает стимулов для победы. Представьте, что вы играете в матче с таким же по умению соперником. Вы можете решить атаковать и пытаться победить либо защищаться и играть на ничью. Но вы знаете, что при атаке вы оголяете зоны и увеличиваете не только шанс забить, но и пропустить мяч. Для примера представьте себе ультраатакующую стратегию, которая дает 50 %-ный шанс выиграть и 50 %-ный шанс проиграть (ничьи в матче быть не может). С такой стратегией в половине матчей вы получите два очка, а в другой половине ноль. Ожидаемое число очков:
(2 × 0,5) + (0 × 0,5) = 1.
Результат ничем не лучше того, который был бы при выборе максимально оборонительной стратегии (она гарантирует ничью): 1 × 1 = 1. Поскольку ничья более вероятна, чем игра во «всё ради победы», здесь появляется дополнительный фактор против атакующего футбола. Лучше оставаться в безопасности, чем жалеть.
Джимми Хилл понимал стимулы и то, что они выглядят совсем по-другому в трехочковой системе. Если стратегия атаки имеет 50 %-ный шанс на победу, то среднее количество очков, ожидаемых за игру, равно
(3 × 0,5) + (0 × 0,5) = 1,5.
Защитная стратегия, которая всегда приносит ничью, гарантирует только одно очко, поэтому вам лучше играть в атакующий футбол. Вашему сопернику также выгодней атаковать вне зависимости от принятого вами решения. Одна команда всегда проигрывает, но в среднем игра на победу принесет больше очков обеим командам.
Эти расчеты предполагают, что обе команды равны по силе. Такое допущение не соответствует реалиям Премьер-лиги, где у топ-команд есть владельцы-миллиардеры, что позволяет скупать лучших игроков. Более реалистичный пример: представьте себя тренером команды из середины таблицы. Ваша команда борется за то, чтобы не вылететь в дивизион ниже рангом. В следующую субботу вам предстоит матч на выезде против «Арсенала» Арсена Венгера. Ваш скаут говорит вам, что при игре в атакующий футбол у вас будет 32 % на то, что вы выиграете, – почти 1 к 3. Он также предсказывает, что у «Арсенала» шанс на победу составляет 48 %, чуть меньше половины. Ничья маловероятна – 20 %, что она случится. Эти проценты указаны как гипотетический пример, или, говоря моим языком, – математическая модель. В действительности скауты не предоставляют настолько точную информацию. Но наберитесь терпения, и мы увидим, что фактические цифры не важны. Важно то, как сравнительная сила вашей команды и «Арсенала» определяют стратегию, выбранную вами и Арсеном Венгером.
Оценка скаута основана на предположении, что обе команды играют в атакующем стиле. Давайте представим, что при игре в оборонительный футбол вы уменьшите вдвое шансы «Арсенала» выиграть в матче, но при этом сокращаете в два раза и свои шансы. Мы можем объединить предсказания скаута в таблице 6.1, которая предоставляет вероятность победы, ничьей и поражения для каждой из выбранных стратегий, которую могли принять вы и Венгер.
Как вы должны думать в этой ситуации? Чтобы максимально увеличить шансы на победу, вы должны играть в атакующий футбол. С другой стороны, при защитном настрое у вас есть 60 %-ный шанс увезти домой одно очко. Если при этом «Арсенал» тоже обороняется, то ничья почти гарантирована. Не важно, как долго вы думаете об этом, – только лишь процентов не хватит для того, чтобы сделать выбор. Чтобы выработать лучшую стратегию, вам нужно знать, сколько очков вы получите за победу.
Давайте рассмотрим вначале два очка за победу. Мы начнем с ситуации, когда обе команды атакуют, и выясним, сколько очков вы можете ожидать. Вы получаете два очка за победу с вероятностью 0,32 (то есть 32 %) и одно очко за ничью с вероятностью 0,20 (то есть 20 %). Это дает ожидаемый результат.
(0,32 × 2) + (0,20 × 1) = 0,84.
Это число указано в ячейке «Вы атакуете / «Арсенал» атакует» в таблице 6.2. Остальные числа в таблице – расчет ожидаемых очков для всех комбинаций, выбранных вами и Венгером.
В двухочковой системе вашей команде всегда лучше обороняться. Если «Арсенал» атакует, то оборонительная стратегия увеличивает средние ожидаемые очки с 0,84 до 0,92. Если Венгер также решит защищаться, вы получите наилучший результат – 0,96 очка. Но шанс того, что такой мастер тактики, как Венгер, допустит ошибку новичка, крайне мал. И несмотря на то что вы сражаетесь за одну и ту же пару очков, им руководят противоположные стимулы. «Арсеналу» гораздо выгодней идти в атаку. Отсюда напрашивается единственная рациональная развязка: вы стоите насмерть, а «канониры» бомбардируют вашу штрафную площадку.
При трех очках за победу ситуация меняется. В таблице 6.3 приведены ожидаемые очки для всех комбинаций; на этот раз вероятность умножается на 3 очка за победу. Если вы атакуете, вы можете рассчитывать на 1,16 очка – это больше, чем 1,08 при защите. Для Венгера нет стратегических изменений. «Арсенал» – более сильная команда, но вы все равно должны стремиться к тому, чтобы забивать голы. В долгосрочной перспективе вы проиграете «Арсеналу» больше матчей, но и выиграете больше, при этом набрав большее количество очков. Три очка за победу делают пирог ожидаемых очков больше; в результате мы получаем более атакующий футбол.
Точно так же, как результаты футбольных матчей зависят от мастерства, результаты взаимодействия животных зависят от размера и силы. Одним из моих любимых соревнований животных является состязание прибрежных крабов (Carcinus maenas), родом с севера Европы. У этих крабов клешни разного размера. Это сделано специально для того, чтобы разделываться с пищей или товарищами. Соответственно у больших крабов и размер клешней больше, у маленьких – меньше. Биолог Изабель Смоллеганг, работающая на прекрасном острове Тексел к северу от Амстердама, установила арены, в которых находились попарно крабы разного размера и небольшое количество мидий, за которые они должны сражаться. Она обнаружила, что маленькие крабы избегают больших, позволяя им первыми получить пищу. Крупный краб съел лучшие мидии, в то время как маленьким крабам пришлось тратить больше времени на поиски пищи в другом месте. Мидии похожи на пирог фиксированного размера, и результат – агрессивная «атакующая» стратегия более сильного краба и «оборонительная» меньшего краба.
Эти противостояния становятся максимально интересными, когда оба краба примерно одного размера. В процессе подготовки к стычке оппоненты проводят много времени, одновременно и внимательно изучая друг друга, и осторожно избегая. Сама схватка также длится дольше, чем между соперниками, значительно отличающимися в размерах. В случае с двумя крабами одного размера они долго толкаются, чтобы выявить лучшего бойца; с крабами разного размера меньший краб быстро капитулирует. Это именно то, чего мы ожидаем от моей модели Атака/Защита для игры против «Арсенала». Когда для обоих соперников вероятность победы примерно одинакова, есть стимул бороться – особенно если краб не уверен, насколько силен его противник.
Такие соревнования между животными – это не просто одноразовые встречи с победившими и проигравшими. Фактически общественная жизнь и иерархия многих животных, включая людей, очень похожа на структуру футбольных лиг. Мой друг и коллега, биолог Дора Биро знает все об иерархиях. Она преподает на Зоологическом факультете Оксфордского университета, который полон лордов и сэров. Высокопоставленные коллеги, Ричард Докинз и другие знаменитости приходят на семинары – неудивительно, что Дора проявила интерес к социальным взаимодействиям.
Как бы ни были увлекательны ее лорды, наиболее интересной для Доры была иерархия, которая встречается на голубятнях. Вместе с коллегами она установила автоматизированную систему для отслеживания и оценивания почтовых голубей. Система работает, и когда птицы едят в голубятне, и когда летают снаружи. Исследователи отмечают, как голуби образуют очередь за пищей и как они наступают или избегают друг друга. Используя компьютер для отслеживания движения птиц, они могут автоматически идентифицировать, как взаимодействуют голуби. Алгоритм может определить, кто из голубей является доминантным. Когда одна птица продвигается вперед, а вторая пропускает ее, уйдя в сторону, становится понятно: первый голубь – босс.
Есть своя иерархия и в небе. Прикрепив GPS к птицам и наблюдая, как они выстраиваются в группу, Дора и ее коллеги могут выяснить, какая птица решает, в какую сторону лететь всем остальным. Лидеры в небе и лидеры в голубятне отличаются, но в обоих случаях существует строгая иерархия. Если птица А ведет птицу B в полете, а птица В ведет С, тогда птица А будет вести птицу С, если они летят вместе. Такое же правило применяется ко всем птицам на чердаке, когда дело доходит до решения, кто из них будет уступать место. В математике мы называем такую связь транзитивной; оказывается, что транзитивность примерно в 97 % случаев позволяет предсказать, какой голубь будет доминировать. Это почти так же строго, как порядок подчинения у профессоров в Оксфорде. Чем выше ваш стаж работы, тем лучше место вы получите в ресторане для сотрудников.
Транзитивность делает жизнь голубей и профессоров проще. Будучи молодым исследователем в Оксфорде, я не пытался украсть ни одно из лучших мест в ресторане у ведомственных сановников. Для голубей ситуация та же: вы избежите неприятностей, если будете знать свое место в иерархическом порядке. Если голубь видит, что более сильный товарищ проиграл схватку, он не будет вступать в ссору с новым чемпионом. Транзитивные иерархии широко распространены в природе. Их можно увидеть у всех – от муравьев, птиц и крыс до шимпанзе и, конечно же, людей.
Такие иерархии являются следствием истощаемых ресурсов, за которые мы вынуждены сражаться. В голубятне, как зачастую бывает и в жизни, агрессивная стратегия не всегда является самой лучшей – если только вы не уверены в том, что всегда будете побеждать. Тогда вы должны убедиться, что являетесь лучшим голубем.
Выстроенная иерархия может уменьшить количество боев в голубятне, но она точно не создаст захватывающую футбольную лигу. Если «Ньюкасл» проигрывает дома «Кристал Пэлас» на выходных, а в середине недели уже «Пэлас» дома терпит поражение от «Астон Виллы», тогда «Ньюкасл» вряд ли захочет играть на победу на «Вилла Парк» в следующие выходные. Если все команды начнут думать таким образом, защитный футбол будет доминировать. Конечно, могут быть небольшие изменения при игре в родных стенах, но если такой образ мышления будет преобладать, то слабые команды будут только защищаться, а более сильные – атаковать.
Теперь мы можем увидеть мощную логику трехочковой системы, предложенной Джимми Хиллом. Система с двумя очками за победу обеспечивает один и тот же размер пирога, за который сражаются команды. Если вы слабы, всегда лучше идти на компромисс. В результате этого образуется скучная транзитивная иерархия, в которой сильная команда пытается получить все, а слабая защищает то, что имеет на данный момент. При трех очках за победу появляется больше стимулов для более слабого соперника и как результат – в теории – более атакующая форма футбола.
Но была ли теория подтверждена? Действительно ли «три очка за победу» нарушили иерархию доминирования в английском футболе? Все же теория – это одно, а футбол – совсем другое. Если бы тренеры действовали рационально, а игроки прислушивались к их решениям, мы могли бы ожидать снижение количества ничьих, когда в сезоне-1981/82 был совершен переход с двух до трех очков. Однако в сезоне-1980/81 было зафиксировано 118 ничейных результатов, а в следующем – 121. Увеличение количества ничьих не сильно поддерживает теорию. Может быть, Джимми был не прав?
Рисунок 6.1. Количество ничьих в Первом дивизионе до и после перехода на трехочковую систему. Пунктиром обозначен год (1980), когда изменение было реализовано.
Но двух сезонов недостаточно для корректного статистического сравнения. На рисунке 6.1 приведен график количества ничьих в шести сезонах Первого дивизиона до изменения и шести сезонах после этого. Теперь мы видим, что в сезоне-1980/81 было крайне мало ничьих в сравнении с другими сезонами до перехода. До изменения мы видим пять сезонов с наибольшим количеством ничьих; четыре сезона с наименьшим количеством ничьих приходятся на период после перехода. Такого объема данных достаточно для статистической проверки и поддержки заключения, что решение перейти на трехочковую систему поощряло атакующий футбол.
Если бы на графике мы представили голы за игру для тех же сезонов, мы обнаружили бы небольшой рост после введения системы трех очков за победу. Мы должны отдать ему должное: Джимми Хилл был прав. Он разрушил футбольный порядок.
В моей выдуманной гипотетической встрече между вашей скромной командой и «Арсеналом» Венгера я допустил немало предположений. Вероятности победы, проигрыша или ничьей весьма специфичны – 32 %, 48 % и 20 % соответственно. В реальных условиях мы ожидаем, что эти вероятности будут меняться в зависимости от соперника, матча дома или на выезде, принятой тактики на матч, травмы ведущего нападающего и т. д.
Это разнообразие возможных результатов не является проблемой для математики стратегии. На самом деле красота математики заключается в ее способности делать обобщения. Мы, математики, обычно не работаем со специфическими вероятностями, такими как вероятность победы и проигрыша, – мы пытаемся решать проблемы более обобщенно. Для этого мы заменяем числа символами, которые могут принимать диапазон значений, и мы доказываем результаты в отношениях между символами. Например, я предположил, что при переходе с атакующей модели на оборонительную вероятность вашей победы уменьшится вдвое (с 32 % до 16 %), и шанс на победу «Арсенала» также сократится в два раза – с 48 % до 24 %. Чтобы обобщить модель, мы можем предположить, что оборона уменьшает вероятность победы или поражения на относительное число, которое мы можем назвать p. Символ p можно представить как отображающий эффективность защиты: p= 1 – это бесполезная защита, p= 0 – отображает железный занавес. В предыдущем примере я установил p= 0,5 – ровно посередине между двумя крайностями.
Я также могу заменить вероятность победы, проигрыша и ничейного результата соответствующими символами: w, l и d. Это позволяет мне создать очень общее представление о футбольном матче, где любой результат возможен. Вопрос в том, как вероятность различных результатов, а также эффективность защиты команды влияет на тактические решения тренеров.
Обозначив задачу через w, l, d и p и используя алгебру, я обнаружил, что при системе начисления двух очков за победу слабая команда должна всегда обороняться. Если у вашего оппонента больше шансов победить, чем у вас (то есть l>w), то всегда лучше защищаться. Мы снова видим строгую иерархию, в которой более сильные команды атакуют, а слабые команды защищаются.
В системе с тремя очками за победу результат совершенно другой. Здесь вы должны атаковать, если вероятность поражения соперника не более чем вдвое превышает шансы на вашу победу (то есть когда l < 2w). С другой стороны, если шансы оппонента на победу в два раза больше ваших, вам следует обороняться. В трехочковой системе мы видим множество ситуаций, когда более слабые команды должны играть в атакующий футбол.
С точки зрения математической изощренности переход на символы является продвижением вперед по сравнению с просто числами. Сделав этот шаг, теперь я могу дать очень общий совет тренерам, чьи команды борются за три очка: «Атакуйте, если шансы соперника на победу превышают ваши не более чем вдвое». Этот совет применяется независимо от того, противостоит вам «Арсенал» или «Аккрингтон Стэнли». Вы должны оценить силу собственной команды и оппозиции. Пока шансы на победу оппонента не превышают ваши собственные больше чем в два раза, нацельтесь на максимальный результат и никогда не играйте на ничью.
При любой возможности вы должны быть нацелены на результат.
Этот стратегический совет по-прежнему оставляет много работы для тренера. Он должен быть уверен, что знает относительные силы своей команды и соперника. Одним из видов измерения может стать сравнение букмекерских ставок. Второй можно найти, изучив таблицу и сравнив количество побед. В сезоне-2013/14 Премьер-лиги команды из середины таблицы (такие, как «Кристал Пэлас», «Ньюкасл» и «Сток Сити») выиграли примерно половину матчей с лидерами – «Ливерпулем», «Челси» и «Манчестер Сити», например. Таким образом, команды из середины должны не избирать защитную стратегию в играх с лучшими командами, а пытаться бороться за результат. С другой стороны, команды-борцы за выживание должны атаковать в матчах против соперников из середины таблицы; но когда Венгер или Юрген Клопп приезжают в гости со своими суперзвездами, они должны закрыть штрафную площадь на замок и надеяться на ничью.