Инвариантность масштаба
Что такое инвариантность масштаба?
Инвариантность масштаба - это свойство систем, при котором определенные закономерности или законы остаются неизменными в разных масштабах. Это означает, что при увеличении или уменьшении масштаба основные правила или структуры остаются неизменными.
Фракталы и инвариантность масштаба
Фракталы - это математические множества, которые демонстрируют самоподобные паттерны независимо от масштаба, в котором они рассматриваются: знаменитый пример - множество Мандельброта, где при увеличении масштаба на границе обнаруживаются бесконечно сложные, самовоспроизводящиеся структуры.
Фракталы тесно связаны с понятием масштабной инвариантности. Это геометрические фигуры, которые можно разделить на части, каждая из которых является уменьшенной копией целого.
Это свойство, известное как самоподобие, является отличительной чертой фрактальных объектов. Фракталы встречаются во многих природных явлениях, таких как снежинки, горные хребты, молнии и даже структура легких и кровеносных сосудов.
Математическая основа фракталов включает в себя рекурсивные процессы, когда простое правило применяется многократно. Этот итерационный процесс приводит к сложным структурам, которые демонстрируют неизменность масштаба.
Фрактальная размерность - это мера, которая описывает, как детали фрактального узора изменяются с масштабом, на котором они измеряются. Она часто принимает нецелое значение, отражающее сложность узора.
Примеры в природе
Длина береговой линии может казаться бесконечной, если измерять ее со все более тонким разрешением. Это происходит потому, что береговые линии обладают фрактальной геометрией, где похожие узоры повторяются в разных масштабах.
Чем внимательнее вы изучаете береговую линию, тем больше деталей вы обнаруживаете, напоминающих более крупную структуру.
Ветвление деревьев
Ветви деревьев - еще один пример масштабной инвариантности.
Форма ветвей дерева повторяет форму всего дерева, причем более мелкие ветви напоминают структуру более крупных. Этот фрактальный узор максимально увеличивает воздействие солнечного света и воздуха на дерево.
Речные сети
Речные системы демонстрируют масштабную инвариантность в характере разветвления.
Мелкие ручьи сливаются, образуя крупные реки, а сеть этих водотоков демонстрирует самоподобие в разных масштабах, следуя распределению по степенному закону (power law).
Лед и снег
Фрактал "снежинка", также известный как "снежинка Коха", - это геометрическая фигура, которая демонстрирует самоподобие в любом масштабе.
Он создается, начиная с равностороннего треугольника и рекурсивно добавляя меньшие равносторонние треугольники к каждой стороне. На каждой итерации новый треугольник добавляется к средней трети каждой существующей стороны, при этом длина сторон нового треугольника составляет одну треть длины исходного.
По мере продолжения этого итерационного процесса границы снежинки становятся все более замысловатыми и бесконечно длинными, а заключенная в них площадь сходится к конечному значению.
Этот фрактал демонстрирует концепцию масштабной инвариантности, когда структура выглядит одинаково независимо от степени увеличения. Снежинка Коха демонстрирует, как простые правила могут порождать сложные, бесконечные детали, характерные для фрактальной геометрии.
Заключение
В контексте степенного закона для Биткоина инвариантность масштаба предполагает, что математические соотношения, определяющие динамику рынка биткоина, остаются неизменными независимо от временных рамок или размера рынка.
С момента своего появления цена биткоина выросла на восемь порядков. Первоначально биткоин практически ничего не стоил, и первые транзакции оценивали его менее чем в $0,01 за биткоин.
Например, в 2010 году знаменитая транзакция "Биткоин-пицца" оценила 10 000 BTC примерно в $25, что соответствует цене в $0.0025 за 1 BTC.
Напротив, в 2024 году цена биткойна достигнет максимума выше $73 000, что свидетельствует о невероятном росте криптовалюты и согласуется с принципами степенного закона.
На графике ниже Джованни применяет этот принцип (с педагогической точки зрения) к предсказанию Гарольда Кристофера Бургера, сделанному 5 лет назад с помощью закона мощности (синие точки). 5 лет спустя предсказание оказалось верным (красные точки).
Вы видите, что для предсказания можно было бы использовать инвариантность масштаба (он сделал это косвенно, предположив, что путь продолжается).
Инвариантность масштаба постоянно используется в науке для предсказаний. Это означает, что модели и поведение, наблюдаемые в цене и сетевых метриках биткойна, можно анализировать и понимать в разных масштабах, что позволяет предсказывать долгосрочные тенденции на основе исторических данных.