Стереометрические определения

Аксиоматика

Аксиома плоскости: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Аксиома прямой и плоскости: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома пересечения плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые параллельные, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Параллельность прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая параллельна некой прямой, лежащей в плоскости, то прямая параллельна этой плоскости.

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Скрещивающиеся прямые

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема о скрещиюващихся прямых. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Перпендикулярные прямые

Транзитивность. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Свойство. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Свойство. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Перпендикулярность плоскостей

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны

Свойство перпендикулярных плоскостей. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно к линии пересечения плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости.