Sigma Olympiad 2024
March 20
Sigma Olympiad. Второй тур
- Как мы все знаем, Дима очень любит заюш. За свою жизнь он изловил их аж 6! штук. Известно, что каждый месяц Дима ловит по 5 заюш.
- Прошло 4 года и 8 месяцев. Сколько теперь заюш у Димы? (2 балла).
- После прошедших 4 лет и 8 месяцев Диме подарили 111 клеток, по которым он рассадил всех заюш. Возможно ли такое, что ни в одной из этих клеток не будет хотя бы 10 заюш? (5 баллов)
- Оказывается, у Димы есть брат-близнец! Приехав к Диме, он потребовал у него половину всех заюш Димы. Дима поставил ему условие - если брат-близнец выиграет в его игру, он получит заюш, в противном случае он останется ни с чем. Условия игры таковы: за ход можно взять одну, две или три заюши, выигрывает тот, кто заберет последнюю. Может ли Димин брат победить, при условии, что он ходит первым, а всего у Димы 1000 заюш?
- Бабки, следящие за порядком в комнате, стары как мир. Никто точно не знает, сколько им лет, но есть примерные данные. Ходят слухи, что в сумме им где-то (1*3 + 3*5 + 5*7 +...+ 99*101) - (1^2 + 3^2 + 5^2 +...+ 99^2). Рассчитайте, сколько каждой из них лет, если они одногодки, а всего их 5.
- После отбоя жители 316 комнаты были недовольны тем, что им открыли дверь. Так как вожатые настырны, они открывали им дверь целых 5 раз (а значит, ребятам пришлось закрыть ее те же 5 раз)! Каждый раз дверь закрывал только один человек. Сколько существует различных вариантов закрытия ребятами двери 5 раз, если Дима боится вожатых и не хочет открывать ее, Макс с Платоном готовы закрыть дверь лишь 1 раз, а Лёва спит?
- Как известно, в большинстве комнат галактики нет ручек от окон. В один день у Насти-хомяка оказались все существующие ручки. Всего существует 2 типа ручек: первый тип подходит только к левым окнам, второй - к правым. Чтобы не перепутать их, Настя отметила их цифрами 1 и 2. Ей было нечего делать и она решила сыграть с Женей в игру. Правила таковы: они делают по очереди ход, Настя ходит первая. Разрешается брать ручки с суммой цифр на них не большей 3. Забравший последнюю ручку выигрывает. Кто имеет выигрышную тактику?