Ш. Камманн, "Развитие магических квадратов в Китае"

Магические квадраты — это диаграммы, состоящие из цифр или букв, расположенных в виде прямоугольника, имеющие определенные свойства. Хотя квадраты с буквами были очень распространены в мусульманском мире, они не встречаются в Китае, поэтому в этой статье мы будем рассматривать только числовые варианты.

Числовые магические квадраты обычно составлялись из чисел от единицы до квадрата основного числа — например, магический квадрат третьего порядка включает все числа от 1 до 3², или 9. Числа расположены так, чтобы каждая строка и каждый столбец, а также две главные диагонали давали в сумме одно и то же число. Эту общую сумму обычно называют константой.

Хотя сейчас числовые магические квадраты зачастую относят к незначительному подразделу западной науки, известному как «математические ребусы», люди прошлых веков во всем цивилизованном мире относились к ним очень серьезно. Их создание рассматривалось как достойное изучение математических методов или даже как творческое художественное выражение (в культурах с сильными иконическими традициями). Законченные квадраты считались совершенными религиозными символами или амулетами с присущими им благими и неблагими силами. В качестве магических диаграмм они играли важную роль в оккультных исследованиях, составивших ветвь средневековой прото-науки у китайцев, индусов и арабов, и, в конечном счёте, у европейцев эпохи Возрождения.

И, работая с ними, люди сделали открытия, касающиеся отношений между числами, которые привели к значительным достижениям в математике. Ввиду положения, которое они занимали в Древнем Китае, Джозеф Нидэм в третьем томе своей истории науки посвятил раздел китайскому развитию магических квадратов в математике как исследованию "комбинаторного анализа". Он попытался сравнить китайскую ситуацию с развитием магических квадратов в других странах, чтобы продемонстрировать, что их прогресс в этой области был впечатляющим и непрерывным. Однако при этом он совершенно исказил реальную историю. Таким образом, кажется целесообразным снова обратиться к этой теме, чтобы попытаться вернуть картину в правильную перспективу.

Авторы работ по истории математики часто утверждают, что магические квадраты возникли в глубокой древности и что они были известны с очень давних времён в Китае и Индии. Хотя учёные с тех пор указывали, что нет никаких подтверждений индийских притязаний на самые ранние квадраты, или на то, что китайская традиция истинна. Однако, даже если магический квадрат не настолько давно существует в Китае, как представляет традиция, очевидно, что первый квадрат такого рода действительно изобрели китайцы. Самое раннее точное упоминание о хорошо известном магическом квадрате третьего порядка появляется в «Та Тай Ли-чи», составленном в первые века н.э. из более древних источников. В этой работе перечислены числа в порядке их появления, при этом описываются девять залов или дворцов космического храма, известного как Мин Тан. Из-за этого более поздние китайские учёные часто говорили о математических знаниях, окружающих этот квадрат третьего порядка, как о «плане Девяти Дворцов».

Современные западные авторы, в том числе Нидэм, утверждали, что самый ранний магический квадрат был создан Теоном Смирнским, неопифагорейцем, около 130 г. до н.э. Однако, если бы они взглянули на этот так называемый «магический квадрат» Теона, они бы увидели, что это не магический квадрат ни в каком смысле термина. Теон просто представил «естественный квадрат» — то есть, перечислил числа от 1 до 9 в три столбца в их обычном порядке.

Ввиду того, что пифагорейцы, начиная с самого Пифагора, придавали большое значение теориям чисел и числовому символизму, можно было бы ожидать, что некоторые из них самих или, по крайней мере, их преемники-неопифагорейцы, могли изобрести магические квадраты. Но у нас нет определенных доказательств того, что кто-либо из них когда-либо сделал это. Известные в настоящее время факты, по-видимому, показывают, что самые ранние магические квадраты за пределами Китая не появлялись до IX века н.э. В то время арабский мир начал проявлять большой интерес к квадрату третьего порядка, получив его непосредственно из Китая в ходе обширных арабо-китайских торговых отношений во времена династии Тан. Таким образом, получается, что магический квадрат в Китае действительно появился раньше не менее, чем на тысячу лет - даже несмотря на то, что его появление не восходит так далеко, как предполагали многие предыдущие авторы.

Вокруг квадрата третьего порядка в Китае вырос обширный фольклор и корпус магических верований, и уже во II веке н.э. он использовался в системе гадания. Здесь не место обсуждать все глубокие значения и скрытые силы, приписываемые ему, поскольку наш интерес в этой статье — как и у Нидэма — заключается исключительно в развитии магических квадратов как решений математических задач баланса и размещения.

Мы можем сделать паузу, чтобы отметить, что средневековые китайцы связывали магический квадрат третьего порядка, который якобы появился на панцире священной черепахи, согласно легенде явившейся мифическому королю Юй из вод реки Ло во время укрощения наводнения. Таким образом, в средние века и позже китайцы называли Ло Шу, или «План реки Ло». В знак его предполагаемой древности они обычно представляли его псевдоархаичным расположением черных и белых узлов или бусинок на коротких шнурках. Только тибетцы Западного Китая и самого Тибета, а также монгольские ламы сохранили графические изображения магического квадрата из трёх фигур на теле черепахи, и они продолжают рисовать его на гадальных картах и оккультных картинах вплоть до настоящего времени.

Можно было ожидать, что, имя преимущество во времени, китайцы продолжают разрабатывать магические квадраты больших чисел в сравнительно раннем периоде — и, вероятно, они так и делали. Однако Нидэм описывает дальнейшее развитие магического квадрата в Китае, которое он представляет как непрерывный процесс совершенствования навыков, начиная с ученого по имени Ян Хуэй, жившего в XIII веке, ближе к концу династии Сун. Нидэм, кажется, считает Ян Хуэя математическим гением, достойным сравнения с византийским современником Мануэлем Мосхопулосом, которому обычно приписывают то, что он был первым, кто исследовал магические квадраты на чисто математической основе, а также первым, кто представил магические квадраты византийскому миру, и, в конечном счёте, остальной Европе.

На самом деле, между этими людьми нет сходства, за исключением того, что оба, по-видимому, всего лишь переписывали математические работы других людей. Мосхопулос был в первую очередь филологом и переводчиком, и теперь мы знаем, что он переписал работу какого-то персидского ученого (или учёных), пока неустановленного. В то же время, сам Ян Хуэй в предисловии к своей книге, содержащей квадраты (Hsu-ku chai-chi suan-fae, 1275 г.н.э.), признал, что он просто передает труды древних людей, и сам не претендует на то, чтобы быть новатором. Он даже не описал способы их построения, как это сделал Мосхопулос, да, пожалуй, и не мог этого сделать.

Если внимательно изучить магические квадраты, которые представляет Ян Хуэй, становится очевидным, что они принадлежат к нескольким различным системам, не все из которых были подлинно китайскими, а некоторые уже появились в мусульманском мире почти три столетия назад — и по сравнению с методами, проиллюстрисованными Мосхопулосом, их конструкция кажется сравнительно примитивной.

Ян называл их tsung-heng tu, буквально «вертикально-горизонтальные диаграммы», и китайские учёные более поздних поколений продолжали использовать этот термин.

Разработка магических квадратов с использованием более высоких чисел, возможно, началась во времена династии Хань, но она, несомненно, была разработана во время Шести династий (с IV по VI век до н.э.). В это время учёность поддерживалась в монастырях, уединенных от суматохи «темных веков Китая», и люди проявляли значительный интерес к гаданию в попытке найти хоть какую-то надежду во времена всеобщего отчаяния. Говорят, что в этот период было написано несколько работ о Девяти Дворцах и Ло Шу, хотя позже они были уничтожены. Мы знаем о них только по кратким цитатам из более поздних работ династии Тан и Сун, когда внешняя торговля приносила новые идеи, в том числе новые математические концепции из Западной Азии и Индии, и, возможно, даже настоящие магические квадраты. При отсутствии сохранившихся записей мы до сих пор не можем шаг за шагом проследить ход этой ранней эволюции магических квадратов в Китае. Мы можем рассматривать ее только в том виде, в каком она представлена в группе магических квадратов, переданной нам книгой Ян Хуэя, которая до сих пор остаётся самым ранним собранием продвинутых магических квадратов, известных из Китая. Чтобы правильно изучить эти квадратя, мы должны вернуться к самим примерам — чего Нидэм, по-видимому, не делал. К счастью, недавно они были возрождены для современных учёных китайским историком математики Ли Йеном, которому посчастливилось иметь издание редкой книги Ян Хуэя в своей личной библиотеке.

Нидэм неоднократно цитирует Ли Йена, но искажения, допущенные им в отньлении Ян Хуэя и тех, кто последовал за ним, слишком ясно показывают, что он не читал внимательно трактат и не изучал сами магические квадраты, которые в конце концов являются основными доказательствами для обсуждения этого предмета. Например, пытаясь создать у своих читателей впечатление, что Ян Хуэй внёс важный вклад в создание магических квадратов, рассматривая их как чисто математические задачи — без суеверных соображений, — Нидэм заявляет, что Ян дал некоторые простые правила их построения.

Если бы он действительно внимательно читал Ли Йена, он увидел бы, что единственным объяснением построения (за исключением кратких указаний по составлению простых квадратов третьего и четвертого порядков) на самом деле были собственные попытки Ли Йеня разработать методы, которые использовали при создании квадратов, представленных Ян Хуэем. Ли ясно даёт понять, что сам Ян Хуэй не дал никаких объяснений того, как составлять квадраты, которые он представил, кроме квадратов третьего и четвертого порядка. В самом деле, как мы уже отмечали, кажется вполне вероятным, что Ян Хуэй не знал, как сделать все это самостоятельно, а просто переписывал готовые схемы из старых книг.

Мы не будем подробно обсуждать здесь квадраты, представленные Ян Хуэем, но можем сделать беглый обзор, чтобы увидеть их основные особенности и отметить некоторые факты, имеющие особое отношение к китайскому развитию магических квадратов.

Ян Хуэй начал с того, что представил известный квадрат третьего порядка — Ло Шу — в его наиболее привычной форме. Затем он представил два магических квадрата четвертого порядка, оба из которых были вариациями одного, уже известного задолго до этого в арабском мире и опубликованного в энциклопедии Братьев Чистоты (Расд'тл Ихван ас-Сафа) около 990 г.н.э.

Таким образом, эти четыре квадрата, скорее всего, были заимствованы из-за рубежа, наряду с двумя магическими квадратами восьмого порядка (второй из которых был неправильно понят). Поскольку они, видимо, не принадлежали китайскому наследию, я не буду их здесь описывать.

В двух магических квадратах пятого порядка, представленных Ян Хуэем, первый, по-видимому, был построен путем взятия «естественного квадрата» пяти, то есть чисел от 1 до 25, записанных в пяти параллельных рядах (или столбцах). Затем девяти чисел в центре переставлялись в соответствии с порядком Ло Шу (перевёрнутым). После этого другие 16 чисел по внешней границе также были переставлены так, чтобы дополнительные пары стояли друг напротив друга, чтобы завершить общую сумму. Использование схемы Ло Шу для формирования ядра того, что технически известно как «магический квадрат с окантовкой». Оно является очень характерным китайским решением, и, вероятно, уже было очень древним в Китае. Однако первый опубликованный пример также восходит к арабам, и позднее этот метод использовался ими гораздо более изощрённо и эффективно, о возможностях чего сами китайцы, судя по всему, так и не узнали. Квадрат пятого порядка построен более трудоёмко за счёт тщательного размещения всех дополнительных пар вокруг среднего числа исходной последовательности, которое занимает центр квадрата. При таком методе размещения два числа каждой противоположной пары могут быть соединены линией, проходящей через центральное число, и каждая из этих пар в сумме даёт удвоенную сумму центрального числа, создавая то, что технически называется «связанным магическим квадратом». Он не только представляет собой стиль построения, уже известный и использовавшийся Братством Чистоты почти триста лет назад. Это также характерная черта, распространенная в арабских магических квадратах XII и XIII веков, а именно равномерное увеличение всех чисел. Поскольку каждое число в этом квадрате было заранее увеличено на 8, поэтому последовательность шла от 9 до 33, а не от 1 до 25, как обычно.

Если бы две эти черты, ассоциация и увеличение, были единственными качествами, отличающими этот квадрат, его также можно было бы отбросить как заимствование из мусульманского мира. Но типично китайские причины как построения, так и добавления этого конкретного числа, 8, можно найти в древнекитайских философских и нумерологических представлениях о магических квадратах, так что не должно быть никаких сомнений в том, что это был китайский магический квадрат. Вполне возможно, что он был даже древнее арабских квадратов того же типа, потому что есть свидетельства того, что Ян Хуэй не понимал его полностью. По-видимому, он был также совершенно непонятен его преемникам, которые исключили его из китайских магических квадратов, несомненно, потому, что все, что они видели в нем, было сравнительно сложным средством построения.

Магический квадрат шестого порядка всегда вызывал проблемы у математиков в других странах (за исключением арабов, которые нашли несколько способов решить его), и его до сих пор называют «самым сложным магическим квадратом» (потому что 6 является «нечетно-четным» числом, а не «дважды четным», как 4 и кратные 4). Древние китайцы, столкнувшись с проблемой, доставлявшей столько хлопот другим ученым, довольно изобретательно решили ее, сгруппировав числа последовательности от 1 до 36 таким образом, чтобы их можно было вписать в схему Ло Шу, воспользовавшись удобной системой.

Два варианта подобного были представлены Ян Хуэем. По-видимому, до нового времени никому не приходило в голову, что магический квадрат четного порядка может быть построен по основному образцу квадрата нечётного порядка, и современное решение было совершенно иным — так что это была исключительно китайская разработка.

В случае двух представленных магических квадратов Ян Хуэя, первое решение снова основывалось на модели Ло Шу, поскольку центральное ядро состояло из 9 чисел, взятых через равные промежутки из естественного квадрата седьмого порядка, а другие числа располагались вокруг него в двойной рамке. Однако важно отметить, что это не то, что технически известно как «магический квадрат с двойной окантовкой» типа того, в котором каждую рамку может последовательно удалить, всегда оставляя совершенный магический квадрат. В данном случае вторая или внутренняя рамка дефектна. Как ни странно, у китайцев, похоже, никогда не было настоящего квадрата с двумя окантовками седьмого порядка, хотя Братство Чистоты опубликовало его задолго до времён Ян Хуэя, а арабы и индийцы использовали их в многочисленных вариациях, начиная с XII века.

Второй магический квадрат Яна седьмого порядка был ещё одним ассоциированным квадратом, построенным на основе Ло Шу, подобно второму квадрату пятого порядка, но без увеличения его чисел. Это тоже, по-видимому, не оценили преемники Ян Хуэя, поэтому они отказались от него, когда отказались от второго квадрата пятого порядка, возможно, потому что посчитали его чужеродным. Магический квадрат девятого порядка Ян Хуэя показывает наибольшее развитие принципа Ло Шу, развитого древнекитайскими математиками. Очевидно, человек, который изобрел его, сначала записал последовательность чисел от 1 до 81 в девять параллельных столбцов, после чего по очереди взял каждую горизонтальную строку из девяти чисел и расположил их в порядке их следования, чтобы из каждой строки получился маленький квадрат по схеме Ло Шу. Наконец, он взял эти девять вспомогательных квадратов по порядку и расположил их, чтобы построить квадрат гораздо большего размера, опять же по образцу Ло Шу. В результате получился «составной магический квадрат», состоящий из девяти меньших магических квадратов, каждый из которых может функционировать отдельно.

Возможно, изобретателем этого квадрата девятого порядка был Чан Хэн, потому что более поздние китайские учёные, которые комментировали его биографию, до того, как ранние знания были полностью утеряны, описали его метод гадания с помощью Девяти Дворцов как использование чисел от 1 до 9 или от 1 до 81. На самом деле, несмотря на его кажущуюся сложность и множество других довольно удивительных особенностей, не обсуждаемых здесь, это один из самых простых магических квадратов, так как он является лишь логическим продолжением простого квадрата третьего порядка. Как только люди начали экспериментировать с последним, вполне естественно, что они наткнулись на этот.

Квадрат десятого порядка Ян Хуэя начинается как типично индийский, использующий «четно-нечетные» числа, который вероятно, уже устарел, когда Нараяна Пандит представил несколько хороших примеров таких квадратов в 1356 году. Здесь он не был доведён до конца, так что это не может считаться настоящим магическим квадратом. Это всего лишь «полумагический» квадрат, так как его диагонали не складываются. Таким образом, это кажется прекрасным примером неправильно понятого иностранного заимствования.

Очевидно, средневековые китайцы мало интересовались магическими квадратами чётных порядков и очень плохо с ними справлялись. Ибо мы видели, что у них было только шесть рабочих магических квадратов чётных порядков, два из которых были решены путем адаптации метода, который они так часто использовали для нечётных, принципа Ло Шу, а четыре из которых, по-видимому, были иностранными заимствованиями.

Это не должно сильно нас удивлять. Во-первых, по различным культурным и философским причинам средневековые китайцы интересовались только Ло Шу и его вариантами применения, а во-вторых, в течение нескольких столетий происходило много иностранного влияния. Сам Ян Хуэй жил в районе Ханчжоу, который был тогда политической и экономической столицей династии Сун, а также известным морским портом и центром международной торговли. Как очень космополитический город, он долгое время был местом жительства удивительно смешанного и разнообразного населения, в которое входили арабы, персы и индийцы, приехавшие в Китай в качестве торговцев.

Сравните это с позицией Чэн Та-вэя, которого Нидэм упоминает как следующего важного составителя магических квадратов. Чэн происходил из внутренней провинции Аньхой во времена династии Мин, когда реакция на недавнее чуждое правление монголов вызвала сильные античужеземные настроения, и делались все усилия, чтобы «очистить» древнекитайской традицию, вернувшись к обычаям танского и сунского периодов. Чэн Та-вэй не был составителем, как заявляет Нидэм и другие современные авторы. Он тоже просто собирал и переписывал, как и многие его современники, и прежде всего он просто копировал магические квадраты Ян Хуэя. К его времени они, вероятно, уже не были понятны, поэтому он упростил первоначальный выбор Ян Хуэя, сохранив только по одному из каждой пары в случаях, когда Ян Хуэй представлял два квадрата для одного числа, а его выбор не всегда был мудрым.

Слишком поспешный взгляд на изложение мысли Ли Яном магических квадратов Чэн Та-вэя (которые, кстати, воспроизведены также в «Энциклопедии Канси») может создать впечатление, что Чэн создал несколько новых квадратов, но единственными нововведениями были небольшие вариации первого квадрата Яна пятого порядка и его второго квадрата шестого. Первый вообще не работает, так как его верхний и нижний ряды не складываются должным образом, в то время как последний представляет собой просто второй шестиугольник Ян Хуэя, разделенный вертикально посередине, где две половины поменялись местами и воссоединились. Но изменив его, Чэн уничтожил форму Ло Шу и, таким образом, отказался от некоторых дополнительных характеристик, которыми изначально обладал квадрат Яна. Наконец, в некоторых объяснениях он показал, что не имеет ни малейшего представления о действительном способе построения. Короче говоря, Чэн Та-вэй, далеко не новатор в области магических квадратов, и неправильно понял старые, которые заимствовал.

Поэтому он, конечно, не заслуживает титула, который часто присваивают ему современные авторы, как важному китайскому изобретателя магических квадратов. Выбор Чэна представляет собой лишь звено в линии передачи от Ян Хуэя к более поздним математикам династии Цин в Китае и Токугава в Японии. Даже как переписчик он был довольно неэффективен, так как не смог передать несколько наиболее интересных квадратов Ян Хуэя, и испортил два из тех, которые он действительно передал, тем самым обеднив традицию для последующих поколений.

Далее Нидэм говорит, что ещё несколько магических квадратов были добавлены Фан Чжун-туном в 1661 году, а ещё больше - его современником Чан Чао, другим учёным династии Цин. Однако при рассмотрении их фактической работы, воспроизведенной Ли Янем, становится ясно, что Фан просто скопировал квадраты Чэна, за исключение "нового" квадрата пятого порядка, который является просто небольшой вариацией - без каких-либо улучшений - в старой схеме Ян Хуэя. Он, вероятно, получил ее, пытаясь заставить неисправную схему Чэна снова нормально функционировать. Между тем, единственным нововведением Чана Чао был новый магический квадрат десятого порядка, построенный очень неуклюже и бессистемно и уступавший во всех отношениях индуистским, ближневосточным и европейским квадратам того же периода.

Наконец, Нидэм цитирует ученого династии Цин Бао Чи-шоуй, утверждающего, что он составил некоторые трехмерные магические квадраты. Этот термин, «трехмерные магические квадраты» подразумевает «магические кубы», которые к тому времени уже были известны в западном мире. Однако изучение реальных примеров показывает, что они представляют собой лишь числовые кубы, связанные с очерченными сферами, которые были разработаны в Китае из магических кругов - не имеют ничего общего с магическими квадратами и гораздо более примитивны.

Между прочим, одной из причин того, что китайцам не удалось развить магические квадраты дальше, вероятно, был их более поздний большой интерес к магическим кругам, которые изобрели тоже они. Последние, возможно, более «художественны», но они менее способны к вариации и разработке приемов и не столь значительны с точки зрения математики. Тем временем, до 1200 г., то есть до рождения самого Ян Хуэя, арабы и индусы начали изобретать более сложные методы, которые можно было использовать для решения любого квадрата нечётного порядка, и другие методы для последовательных квадратов четного порядка. К началу XVI века, до времени Чэн Та-вэй, даже европейцы — которые очень поздно начали — стали открывать более быстрые методы построения. Таким образом, в других странах уже не было необходимости развития магического квадрата каждого числа как отдельной, индивидуальной задачи со своим характерным решением, как это продолжали делать китайцы вплоть до современности.

Подводя итог, мы увидели, что китайцы, по-видимому, действительно изобрели магический квадрат третьего порядка на столетия раньше всех, но они были настолько загипнотизированы этим ранним решением и всеми приписываемые ему космическими и магическими свойствами, что продолжали попытки адаптировать принцип Ло Шу также и к решению высших квадратов. С эволюционной точки зрения это был тупик, и он помешал им найти более быстрые и эффективные методы. Во-вторых, хотя раннее развитие магических квадратов в Китае действительно было впечатляющим, судя по дошедшим до нас результатам, оно должно было достичь апогея незадолго до 1275 г., когда Ян Хуэй опубликовал свои ранние примеры. В ходе этого развития, видимо, были приняты некоторые иностранные методы, которые снова были отброшены в эпоху Мин, а позднее, что более важно, иностранные открытия вообще никогда не принимались на вооружение. Короче говоря, китайцы вовсе не демонстрировали непрерывного прогресса с 1275 г., как это описывает Нидэм, а, по-видимому, не добились реального прогресса с некоторого момента до этой даты, и вся традиция постепенно ослабевала. Тем временем, другие люди продолжали делать заметные успехи, находя новые и более простые решения старых проблем.

Таким образом, мы обнаруживаем, что магические квадраты - как и многие научные или квазинаучные явления в Древнем Китае — следовали общепринятому курсу, который во многом помогает ответить на знакомый вопрос: почему наука и математика так и не достигли полного развития в средневековом Китае? Китайцы, безусловно, обладали большим изобретательским гением, о чем свидетельствуют их многочисленные важные открытия — но они слишком часто довольствовались предварительными результатами, основанными на ранее открытом методе, не пытаясь улучшить его. А также, хотя были времена, когда китайцы приветствовали заимствования из других культур, за ними слишком часто следовали длительные периоды чрезмерного шовинизма и нетерпимости к другим народам, когда иностранные заимствования отбрасывались независимо от их практической ценности, просто потому что они были иностранными.

Затем, без взаимного обогащения новыми идеями и отсутствия инициативы для дальнейших экспериментов, их первоначальный прогресс постепенно замедлился и в конце концов полностью остановился.