Лаба 4

Эквивалентные процентные ставки — это ставки, которые обеспечивают одинаковые финансовые результаты при различных вариантах начисления процентов.
Эквивалентность ставок определяется путем приравнивания множителей наращения или дисконтирования.
Формула для расчета эквивалентной простой ставки при известной сложной ставке:

i = [(1 + j / m)^(m×n) - 1] / n

где:

i - эквивалентная простая ставка
j - сложная ставка
m - количество периодов начисления процентов в году
n - количество лет
В Excel для конвертации сложных ставок в простые используется функция НОМИНАЛ.

Применение:

Эквивалентность ставок используется для:

Сравнения процентных ставок по разным кредитам или инвестициям
Выбора наиболее выгодного варианта вложения средств
Анализа финансовых потоков

Пример:

Допустим, банк A предлагает кредит под сложную годовую ставку 10%, а банк B - под простую годовую ставку 9%. Чтобы понять, какой кредит выгоднее, можно рассчитать эквивалентную простую ставку для банка A:

i = [(1 + 0,10) - 1] / 1 = 0,1047

Получается, что эквивалентная простая ставка для банка A составляет 10,47%, что немного больше, чем ставка банка B. Таким образом, кредит банка B будет немного выгоднее.

Задание 1

Алгоритм расчета:

Используем функцию НОМИНАЛ в Excel для определения номинальной (годовой) ставки, соответствующей заданной эффективной ставке и количеству периодов начисления процентов в году.
Для полугодового начисления процентов количество периодов (Кол_пер) равно 2.
Для ежемесячного начисления процентов количество периодов (Кол_пер) равно 12.

Чем чаще начисляются проценты, тем меньше номинальная ставка должна быть для достижения заданной эффективной ставки.
При увеличении частоты начисления процентов, разница между эффективной и номинальной ставкой уменьшается.
Таким образом, при выборе инвестиционных продуктов или кредитов важно учитывать не только номинальную ставку, но и частоту начисления процентов, чтобы правильно оценить фактическую стоимость финансовых операций.

Задание 2

Чтобы понять, какой вариант выгоднее, нужно рассчитать эквивалентную простую ставку для сложного варианта (9,5% годовых с полугодовым начислением).

Формула:

i = [(1 + j / m)^(m×n) - 1] / n

где:

i - эквивалентная простая ставка
j - сложная ставка (9,5%)
m - количество периодов начисления процентов в году (2)
n - количество лет (предположим, клиент хочет разместить деньги на 1 год)

Расчет:

i = [(1 + 0,095 / 2)^(2*1) - 1] / 1 = 0,0975

Результат: Эквивалентная простая ставка для сложного варианта составляет 9,75%.

Сравнение:

Вариант 1: Сложная процентная ставка 9,5% годовых с полугодовым начислением, что эквивалентно простой ставке 9,75% годовых.
Вариант 2: Простая ставка 11% годовых.

Вывод:

Клиенту выгоднее выбрать вариант размещения под простую ставку 11% годовых.

Задание 3

Формула для расчета эффективной процентной ставки:

Eff_Rate = (1 + Nom_Rate / n)^n - 1

где:

Eff_Rate - эффективная процентная ставка
Nom_Rate - номинальная процентная ставка
n - количество периодов капитализации в году

Анализ:

Чем чаще начисляются сложные проценты, тем выше эффективная ставка. Это связано с тем, что при более частой капитализации проценты начисляются на более крупную сумму, что приводит к более быстрому росту инвестиций.
При годовой капитализации (n = 1), эффективная ставка равна номинальной ставке.
При ежедневной капитализации (n = 365) эффективная ставка достигает максимального значения.

Пример:

Номинальная процентная ставка 14% годовых.
Капитализация: полугодие (n = 2)
Эффективная процентная ставка (по формуле):

Eff_Rate = (1 + 0,14 / 2)^2 - 1 = 0,1449 = 14,49%

В Excel для расчета эффективной ставки можно использовать функцию ЭФФЕКТ.

Пример в Excel:

=ЭФФЕКТ(0,14;2)

Вывод:

Важно учитывать не только номинальную ставку, но и частоту капитализации процентов, чтобы правильно оценить фактическую доходность инвестиций или стоимость кредита.

Задание 4

Формула для расчета годовой ставки (уравнение эквивалентности):

Nom_Rate = (1 + Per_Rate)^n - 1

где:

Nom_Rate - номинальная годовая ставка
Per_Rate - процентная ставка за период капитализации
n - количество периодов капитализации в году

Пример:

КБ “Алмаз”: Процентная ставка за период капитализации = 1,50%
Период капитализации = месяц (n = 12)
Годовая ставка (по формуле):

Nom_Rate = (1 + 0,015)^12 - 1 = 0,1825 = 18,25%

В Excel для расчета номинальной ставки используется функция НОМИНАЛ (с обратным действием):

Задание 5

Формула для расчета суммы вклада:

Sum_Future = Sum_Present * (1 + Rate1)^1 * (1 + Rate2)^1 * (1 + Rate3)^1 * (1 + Rate4)^1

где:

Sum_Future - будущая сумма вклада
Sum_Present - начальная сумма вклада (120 000 руб.)
Rate1, Rate2, Rate3, Rate4 - процентные ставки за каждый год (4%, 5%, 6%, 7%)

Пример:

Год 2:
Процентная ставка: 5%
Сумма вклада (по формуле):

Sum_Future = 120000 * (1 + 0,04)^1 * (1 + 0,05)^1 = 130200

В Excel для расчета суммы вклада можно использовать функцию ПРСТ (будущая стоимость):

Пример в Excel:

Год 2:

=ПРСТ(0,05;1;0;-124800)

Вывод:

Через 4 года сумма вклада составит 142 241 руб.
Важно учитывать изменение процентных ставок во времени, чтобы правильно оценить будущую стоимость инвестиций.
В данном случае увеличение процентной ставки на 1% каждый год приводит к значительному росту суммы вклада. Это демонстрирует важность инвестирования на длительный срок и возможность получения дополнительной прибыли благодаря “эффекту сложного процента”.

Задание 6

Анализ:

Для определения эквивалентности платежей необходимо сравнить их будущую стоимость (PV) на определенную дату с использованием годовой ставки 12%.

а) Выплата 200 000 руб. через 3 месяца или 250 000 руб. через 6 месяцев

PV (200 000 руб. через 3 месяца):

Период: 3 месяца = 0,25 года
PV = 200 000 / (1 + 0,12/4)^1 = 195 121,95 руб.

PV (250 000 руб. через 6 месяцев):

Период: 6 месяцев = 0,5 года
PV = 250 000 / (1 + 0,12/2)^2 = 222 222,22 руб.

Эти платежи не эквивалентны, так как их PV различны.

б) Депозит 150 000 руб. на 2 года с ежемесячным начислением 800 руб. или 120 000 руб. на 4 года с поквартальным начислением 2 500 руб.

PV (150 000 руб. + ежемесячные начисления 800 руб.):

Период: 2 года
PV = 150 000 + (800 * 12 * 2) / (1 + 0,12)^2 = 166 091,20 руб.

PV (120 000 руб. + поквартальные начисления 2 500 руб.):

Период: 4 года
PV = 120 000 + (2 500 * 4 * 4) / (1 + 0,12)^4 = 148 778,87 руб.

Эти платежи не эквивалентны, так как их PV различны.

в) Ежемесячные взносы по кредиту 5 000 руб. на 1,5 года или ежеквартальные взносы 15 500 руб. на 2 года

PV (ежемесячных взносов 5 000 руб.):

Период: 1,5 года
PV = 5 000 * [(1 - (1 + 0,12/12)^-18) / (0,12/12)] = 82 188,70 руб.

PV (ежеквартальных взносов 15 500 руб.):

Период: 2 года
PV = 15 500 * [(1 - (1 + 0,12/4)^-8) / (0,12/4)] = 105 877,34 руб.

Эти платежи не эквивалентны, так как их PV различны.

Графическое представление:

Вывод:

**Платежи не эквивалентны, так как их PV различны. **

Условия эквивалентности:

Платежи могут быть эквивалентны, если:

Суммы платежей будут скорректированы: Для достижения эквивалентности PV, платежи необходимо пересчитать с учетом процентной ставки и периода начисления процентов.
Периоды платежей будут одинаковы: Для сравнения платежей необходимо унифицировать периоды платежей (например, все платежи должны быть ежемесячными).

задание 7

Формула для расчета процентной ставки:

Rate = (Sum_Future / Sum_Present)^(1/n) - 1

где:

Rate - процентная ставка
Sum_Future - будущая сумма
Sum_Present - начальная сумма
n - количество периодов

В Excel для расчета процентной ставки используется функция СТАВКА:

Пример:

Вариант 1:Rate = (52000 / 50000)^(1/0.5) - 1 = 0.0816 = 8.16%

Сумма сегодня: 50 000
Сумма через период n: 52 000
Период n: 6 месяцев = 0,5 года
Процентная ставка (по формуле):

Вариант 1:

=СТАВКА(0,5;0;-50000;52000;0)

Графическое представление:

Вывод:

Процентная ставка, необходимая для достижения одинаковой будущей стоимости, зависит от начальной суммы, периода инвестирования и частоты начисления процентов.
При более частой капитализации процентов (ежедневно или ежемесячно), необходимая процентная ставка будет ниже, чем при менее частой капитализации (ежеквартально или ежегодно).

Задание 8

Решение с помощью функции “Подбор параметра” в Excel:

Создаем таблицу в Excel:ГодПроцентная ставка15,5%26%36,5%47%Номинал?Будущая стоимость15 000
В ячейке “Будущая стоимость” вводим формулу, которая рассчитывает будущую стоимость облигации исходя из номинала и процентных ставок:=НОМИНАЛ(5,5%;1)*НОМИНАЛ(6%;1)*НОМИНАЛ(6,5%;1)*НОМИНАЛ(7%;1)*B8 где B8 - ячейка с номиналом.
Выбираем “Данные” - “Анализ “что, если” - “Подбор параметра”.
Заполняем диалоговое окно:

Установить ячейку: B10 (ячейка с формулой будущей стоимости)
Значение: 15000 (целевая будущая стоимость)
Изменяя ячейку: B8 (ячейка с номиналом)

Нажимаем “ОК”. Excel найдет значение в ячейке B8 (номинал), которое приведет к будущей стоимости облигации в 15 000 руб.

Результат:

После применения функции “Подбор параметра” в ячейке B8 будет значение 12 581,40 руб. Это и есть номинал облигации.

Вывод:

Номинал облигации, выпущенной на 4 года с заданными процентными ставками, должен быть равен 12 581,40 руб., чтобы ее будущая стоимость составила 15 000 руб.

Задание 2: Эквивалентная простая ставка

Формула для расчета эквивалентной простой ставки:

i = [(1 + j / m)^(m×n) - 1] / n

где:

i - эквивалентная простая ставка
j - номинальная годовая ставка (17%)
m - количество периодов начисления процентов в году (4)
n - количество лет (4)

Расчет:

i = [(1 + 0.17 / 4)^(4*4) - 1] / 4 = 0.1846 = 18.46%

Ответ: Номинальную годовую ставку 17% с ежеквартальным начислением можно заменить на годовую простую ставку 18.46%.

Задание 3: Выбор варианта кредитования

Чтобы понять, какой вариант кредитования более предпочтителен, необходимо сравнить эффективные годовые ставки для обоих вариантов.

Расчет эффективной годовой ставки:

Вариант а) Ежемесячное начисление 12,6% годовых:

Eff_Rate = (1 + 0.126 / 12)^12 - 1 = 0.1328 = 13.28%

Вариант б) Полугодовое начисление 14% годовых:

Eff_Rate = (1 + 0.14 / 2)^2 - 1 = 0.1449 = 14.49%

Сравнение:

Вариант а) Ежемесячное начисление 12,6% годовых: Эффективная годовая ставка 13.28%
Вариант б) Полугодовое начисление 14% годовых: Эффективная годовая ставка 14.49%

Вывод:

Предпринимателю более предпочтителен вариант а) с ежемесячным начислением процентов 12,6% годовых.

Объяснение:

Несмотря на то, что номинальная ставка по варианту б) выше (14%), эффективная годовая ставка по варианту а) ниже (13.28%). Это связано с более частым начислением процентов в варианте а). Чем чаще начисляются проценты, тем меньше номинальная ставка требуется для достижения той же эффективной ставки.