mffkeep: Философская позиция Маклейна в математике (2021)

⏳ Среднее время чтения: 7 минут.

Рецензия на избранные главы книги Саундерса Макклейна «Mathematics. Form and Function», 1986 («Математика. Форма и функция»).

Данный текст является кратким изложением позиции математика сооснователя теории категорий Саундерса Макклейна на философию математики (или, как он сам пишет, Математики). Он основан на книге "Математика. Форма и Функция" ("Mathematics. Form and Function", 1986), которая, к сожалению, не была переведена на русский язык.

В вопросе об источнике математического знания Маклейн занимает позицию, отличную от стандартов западной буржуазной мысли. Уже во введении он пишет, что основные подходы к обоснованию математики (логицизм, опора на теорию множеств, платонизм, формализм, интуиционизм, конструктивизм, финитизм, эмпирицизм) являются неплодотворными (Введение, с. 4). Настоящие же истоки математики он видит в человеческой деятельности (и, в частности, деятельности математиков), посвящая обоснованию своей позиции первую главу (с. 6) и некоторые другие разделы (например, про обмен идеями в механике и математике — с. 277). Полная цепочка в его изложении выглядит так: человеческая деятельность — возникающие благодаря ним идеи — математические формулировки. Следует, однако, заметить, что Маклейн не ставит задачей строгое проведение материалистической линии, поэтому нередко называет источником математики не первый, а второй элемент своей цепочки — идеи. Отказ от последовательности в изложении вынудил его добавить в XII главу раздел про платонизм (с. 447), чтобы отдельно подчеркнуть противоположность своих взглядов любым формам объективного идеализма.

В разделе "Основание или Организация?" XI главы (c. 406) Маклейн показывает стихийную диалектичность своих рассуждений. Он считает, что кроме стандартного метафизического взгляда на теорию множеств и логику как на основание математики имеется и взгляд на теорию категорий и теорию множеств как на способ организации математики. При этом отмечается, что ни один способ организации не является идеальным, универсальным, а они сменяют друг друга в ходе развития.

Особый интерес представляет раздел "Истинна ли математика?" XII главы (с. 440), где Маклейн отрицает истинность математики и даже заявляет о бесполезности понятия "математического знания". При этом он опирается отнюдь не на релятивистские или субъективистские положения, а на то, что, с одной стороны, понятия математики не являются действительными объектами мира (антиреализм или даже номинализм) и на то, что по отдельности математические понятия ничего не представляют, только во взаимосвязи (позиция, известная ещё благодаря Энгельсу, если даже не Гегелю). Вместо истинности Маклейн предлагает задаваться вопросами (с. 441):

Также Саундерс в этой главе пытается ответить на следующие вопросы:

Не на все эти вопросы, как признаётся сам автор, он может дать полноценный ответ.

Тем не менее, в целом он отвечает на эти вопросы с материалистических позиций, причём даже специально отмечая отличие своей позиции от формализма, на который она стала особенно похожа при изложении номинализма. Следует с сожалением отметить, что недостатки в ответах а также странная позиция в вопросе истинности математики является следствием неспособности Маклейна последовательно диалектико-материалистически проанализировать свои собственные аргументы.

В заключении (с. 453) Маклейн делает краткие выводы относительно основных тем книги. Он вновь повторяет свою стихийно диалектико-материалистическую позицию относительно истоков и организации математики. Он описывает формализацию как способ абстрагирования и обобщения предшествующих результатов и способ, благодаря которому математика становится межличностной, объективной (в рамках общества) и точной. К сожалению, относительно движущих сил математики Маклейн встаёт на сторону субъективизма, вслед за большинством буржуазных исследователей забывая про объективные причины развития и, похоже, про материал собственной книги. В вопросе оснований математики он вновь возвращается к стихийно диалектической позиции, замечая невозможность вечных и абсолютных оснований математики, необходимость развития. Он вновь критикует направления буржуазного идеализма в математике, как и вульгарного материализма (эмпирицизм), в некоторых случаях отмечая и положительные результаты своих оппонентов. Итогом является краткое изложение собственной позиции, обоснованием которой и является книга: по мнению Маклейна, математика стремится понять, манипулировать, развивать и применять те аспекты Вселенной, которые являются формальными. Точку зрения, изложенную в книге, он называет формальным функционализмом.

В целом Маклейна можно назвать одним из западных исследователей, близко подобравшихся к диалектико-материалистическому пониманию математики. Положительными сторонами его книги "Математика. Форма и Функция" можно назвать актуализацию тем, исследуемых в СССР ещё с 1920-х. Эта книга содержит информацию по значительному числу областей математики и их связям (особенно связям), причём способ введения в тему делает её доступной не только для математиков, но и философов, не вполне с ней знакомой — автор смог достаточно доступно рассказать даже о наиболее сложных областях. Недостатки заключаются в том, что без осознания диалектического материализма Маклейн не смог решить или решил неверно некоторые вставшие перед ним проблемы. Более того, в голову Маклейна, как и большинства западных авторов, основательно были вбиты некоторые принципы позитивизма, поскольку, даже полемизируя против него в математике, автор иногда использует позитивистские аргументы. Особенно печальным является отсутствие знакомства Маклейна с советским опытом организации математики. Да что уж там — даже математические достижения советских коллег (практически) не упоминаются, что особенно странно для некоторых областей, где они добились решающих результатов. Это, в определённой мере, свидетельствует об односторонности "железного занавеса": в СССР достижения западных математиков были широко известны и упоминались.

КОНЕЦ