Математика и Вероятности в Гвинт №1: Начальная рука

Статья переведена и подготовлена TgGwent специально для Telegram-канала "Бутеры от Бужи". Оригинал статьи вы можете посмотреть здесь.

Эта статья является исследованием вероятностей, связанных с начальной рукой в игре Гвинт: Ведьмак. Карточная игра. Под “Начальной рукой” мы подразумеваем первые 10 карт, вытянутых из 25 в самом начале матча. Первая фаза муллигана сюда не входит, но мы поговорим об этом позже, в другой статье. Очевидно, что большинство составленных колод рассчитаны на следующую и более поздние стадии игры.

Тем не менее, ни одно исследование вытягивания карт не может начинаться не с первого вытягивания. Вопросов достаточно много.

1. Количество возможных вариаций начальной руки

В начальную руку вытягивается n=10 карт из N=25 возможных карт в колоде (колоды с большим числом, чем 25 карт, не используются, поэтому мы бы воздержались от их рассмотрения). В этом разделе мы попытаемся выяснить, сколько возможных вариаций начальной руки можно получить. Начнем с общего случая, когда все карты в единственном экземпляре (как в случае с колодой Лавка или Радеи).

1.1. Карты в единственном экземпляре

Проблема относительно проста. Количество N=25 уникальных карт соответствует массиву от 1 до 25: s=[1,2..25]. Это число помещается в массив n=10 в различных комбинациях.

Некоторые читатели наверняка уже знают ответ, но давайте придем к нему шаг за шагом.

Как и 3 человека в ряду могут быть размещены 3! (факториал) способами, 25 карт в 25 ячейках могут разместиться 25! способами (количество перестановок). Вот только в руке может быть лишь 10 карт, так что ставим черту между 10 и 11.

Теперь мы должны обозначить, что любая последовательность карт в рамках 10 слотов левой части шкалы даст нам одинаковую руку - порядок карт не имеет значения. Аналогично, каждая последовательность карт в 15 оставшихся никак не влияет на руку. Следовательно, 10!*15! последовательностей в итоге дают нам одинаковую руку. Разделив общее число 25! на 10!*15!, получим количество возможных вариаций начальной руки. Это комбинация N-элементов в n-слотах.

Результат: всего 3268760 начальных рук возможно при колоде из 25 уникальных карт (без дубликатов). Очевидно, это очень большое число, но оно всё равно намного меньше вычислительных способностей компьютера. Компьютеры легко справляются со всеми возможными комбинациями и оперируют ими. Симуляция не требуется, все результаты могут быть точны.

1.2. Включая пары бронзовых карт

На практике колоды могут играть (0-8) пар бронзовых карт. Например, колода Ведьмаков Скеллиге от Сайбера содержит 6 пар бронзовых карт. Мы будет использовать эту колоду как пример на протяжении всей статьи!

Наличие парной бронзы сильно уменьшает диапазон возможных начальных рук. Давайте выясним, как первая пара повлияет на финальное число разных рук.

Шанс вытащить одну карту из пары равен (10/25) = (2/5). Предполагая наличие одной из них в руке, мы имеем (9/24)=(3/8) возможностей найти вторую. Вот только руки с одной картой из пары неразличимы, поэтому (2/5)*(5/8). Поскольку любая из двух карт может быть в руке, мы умножаем на 2 и наконец, получаем 50%-ю вероятность найти ровно одну карту из пары.

Получается, не отличимые друг от друга руки 50% занимают 50% места. Это значит, что 25% комбинаций – дубликаты. Умножение 3268760 на 3/4 дает нам финальное число: 2451570. Если продолжить умножать на 3/4, мы не получим точных значений для большего количества пар, но оценка всё еще будет достойной.

Следовательно, колода Ведьмаков Скеллиге имеет 578547 возможных начальных рук.

1.3. Отличия по провизии

Стоимость провизии – это приблизительная оценка значения карты. Нашу колоду можно разложить на следующий массив: [12,12,10,10,10,10,10,8,7,7,6,5,5,5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,4,4]. Сколько вариантов рук можно составить из этого списка? Я не претендую на точность вычислений в данном случае (Если вы знаете математическое решение, дайте знать!). Грубое вычисление дает 1136 вариаций, что примерно в 500 раз меньше количества возможных рук. Эти комбинации не равновероятны, с каждой из них есть множество комбинаций.

2. Итоговая провизия

Под итоговой провизией подразумевается сумма стоимости по провизии всех карт в начальной руке. Несложно понять, что средняя стоимость провизии начальной руки равна (общая сумма провизии колоды*10/25). Давайте посмотрим на подробное распределение нашей колоды.

Полученная функция представляет собой почти идеальную функцию Гаусса. Есть лишь небольшая несимметричность: конечный хвост длиннее начального. Шанс получить более слабую руку – на 0.8% выше, чем более сильную.

Допустим, руки с похожим значением разделены на блоки по 6 провизии и расположены в ширину и один блок расположим по центру с средним значением. Таким образом мы получим гистограмму, где проценты имеют более практическое значение (наименования позаимствованы у Team Leviathan Gaming).

Играя на Ведьмаках Скеллиге, в 1/3 игр мы будем иметь “статистически” среднюю руку, где каждая карта в среднем стоит 6,6 провизии. Начальные руки с силой “Полная задница”, “Дерьмо собачье”, “Очень сильная” и “Полом” будут попадаться не чаще, чем в 20% игр.

Детальное распределение в таком анализе будет зависеть от множества факторов, наиболее важным из которых является поляризация колоды. Влияние поляризации будет рассмотрено позже в статье.

3. Число золотых карт и полнота паков

Подсчёт “общей” или “средней” суммы провизии в руке – это не совсем то, чем занимаются игроки, так как это требует усилий, не говоря уже о запоминании цифр после игры. Более простым критерием качества руки является количество вытянутого золота.

Давайте соберем всё золото колоды в один комплект и будем отталкиваться от того, что карта становится золотой, если её стоимость начинается от 7 провизии. Таким образом, Беренгар и Макси (6 и 5 провизии соответственно) в колоде Ведьмаков Скеллиге не будут считаться золотом. Получается, что наша колода содержит 10 золотых карт.

Очевидно, что среднее количество золота соответствует 10*(10/25) = 4. Обратите внимание, как похожи графики количества золота и стоимости по провизии. Значение в 6 провизии было взято не случайно - это очень близко к разнице между средней стоимостью золота и бронзы.

Получается, что шанс не найти ни одной золотой карты в начальной руке ~0,1%. В среднем подобная ситуация не должна произойти с вами больше одного раза за сезон ;). Давайте стремиться к лучшему. Какова вероятность получить полную руку золота, 10/10? Если немного подумать, то ответ мы уже знаем. Критерию соответствует только один набор карт, получается, шанс равен 1/3268760 (Если у вас будет начальная рука полностью золотая, пришлите скриншот, я вставлю его ниже!). У большинства игроков такого никогда не произойдет, но в рейтинге такое случается несколько раз за сезон (количество матчей – больше трех миллионов).

Постойте, я же не рассказал, как высчитал это, да? В этот раз без грубых расчетов. Я использовал так называемое “гипергеометрическое распределение” для N=25 комплекта элементов, K=10 размер набора и n=10 количество вытягиваний. Результаты аналитические и очень гибкие. Используя гипергеометрические таблицы, вы сможете находить вероятности вытащить k карт из K элементов набора в различных ситуациях. Я сделал подобную таблицу для начальной руки внизу - можете использовать её для выяснения шанса вытянуть яды, преступления и т.д. Последний ряд – это точные вероятности, изображенные на гистограмме выше (с округлением до 0,1%).

4. Диспропорция силы

Помимо нашей руки, рука оппонента тоже вызывает большой интерес. Какова общая разница силы рук обоих оппонентов в начале игры? Давайте выясним, как и раньше, на примере колоды Ведьмаков Скеллиге с обеих сторон.

Пока ничего особенного, давайте снова сгруппируем данные в блоки по 5 провизии.

В 43% случаев разница между силой рук игроков не будет особой разницы. В 33% разница небольшая, около 1-2 золотых карт. В 16,5% разница будет значительной, и только около 7%, что разница будет серьезной. Последующие муллиганы и доборы должны сглаживать ситуацию – мы посмотрим на это позже, в следующих статьях.

5. Влияние поляризации

Поляризация – это важный концепт в Гвинте. Сильно поляризованные колоды – это колоды, в которых золота немного, но оно сильное, и большое количество дешевой бронзы. По аналогии, слабо поляризованные колоды - это колоды, включающие несколько бронзовых карт по 4 провизии и много карт со стоимостью в диапазоне 5-9 провизии.

Для качества анализа влияния поляризации необходимо ввести несколько строгих правил. В данной статье это будет разница в провизии, поделенная на разницу провизии между максимально поляризованной колодой и примерно сбалансированной. Данный параметр будет измеряться по шкале от 0 до 1, где 1 – это полностью поляризованная колода, а 0 – колода с одинаковой стоимостью найма всех карт. Например, поляризация колоды Ведьмаков Скеллиге равна 0,635.

Теперь мы готовы посмотреть на то, как поляризация влияет на качество руки. Мы будем использовать идентичные критерии и названия, как и раньше, когда проверяли качество. Все данные показаны на графике ниже.

Чем сильнее поляризована колода, тем менее стабильно качество начальной руки. Риск плохой руки и шанс отличной руки постепенно увеличивается и ниже определённого уровня поляризации исчезает полностью (например, получить руку из категории "Полная задница" и "Полом" можно, только начиная от уровня поляризации 0,6).

6. Примеры из практики

Основная часть исследования окончена, давайте же применим полученные знания. Первый пример для практики мне пришел в Twitter – как часто мы будем ловить брики в классической колоде Свальблода (с Гудмундом)? Второй – небольшое отступление в сторону новой (и не шибко умной) игры: TurboGwent. Мастерство находить Боевую высадку (как просил TemerianSpecimen) подождет до следующей главы рубрики Математика и Вероятности, так как для этого необходимы муллиганы первого раунда.

6.1. Брики в Свальблоде (wojtech5000)

Один из нескольких действительно важных вопросов, связанных с начальной рукой, на который стоит дать ответ: “Какова вероятность получить брик в руку после первого набора карт?”. Наличие бриков или неиграбельных карт в руке ведёт к невозможности полноценно бороться в первом раунде.

Есть несколько примеров колод, в которых много бриков. Наиболее характерный пример – классическая колода Свальблода.

Для начала предположим, что есть 5 бриков (стандартный набор + Моркварг), поскольку наличие возможности сброса требует некоторого анализа муллигана. Тогда мы можем просто использовать гипергеометрическую таблицу, но в этот раз чем больше, тем хуже. Мы имеем K-5 бриков, как минимум 3 из которых ухудшают нашу руку на красной монете и 4 – на синей.

Синяя: 5,9% (1) + 0,5% (2) = 6,4% (любая)

Красная: 23,7% (1) + 5,9% (2) + 0,5% (3) = 30,1% (любая)

Среднее: 18,25%

Влияние монеты на шанс получить брики огромно. На Красной монете Свальблод может получить как минимум один брик с вероятностью 30%!

Если вы составляете колоду, будьте особенно внимательны, чтобы не положить от 6 и более карт, которые не будут играться в первом раунде. Невозможность забрать первый раунд портит план на игру для большинства колод.

6.2. TurboGwent

Что случается, если игра в Гвинт закончится сразу после первых вытягиваний карт? Ну, я знаю, что такая игра не особо привлекает интеллектуальностью, но всё же… Как бы вы строили свою колоду? Ваши шансы были бы похожи на 50% подбрасывание монетки, или вы могли бы как-то обернуть их в свою пользу? Попробуйте подумать об этом, прежде чем двигаться дальше…

Очевидно, что разница между колодами с одинаковыми значением провизии и числом карт равняется 0. Давайте представим, что вы отдали $1 за участие в лотерее с призом в $100, с коэффициентом 1/100. Допустим, вы играете по таким правилам 100 раз, ваш чистый доход будет равен 0, но ваш процент побед будет равен всего 1%.

Что, если вы сможете добиться аналогичного эффекта в гвинте: побеждать на 1 очко в 99% случаев и проигрывать в 100 очков в 1%? Похоже, что без знания колоды оппонента это возможно только при игре низко-поляризованной колодой, которые чуть сильнее более поляризованных сборок из-за небольшой асимметрии в нормальном распределении.

На графике выше мы “играем” низко-поляризованной колодой против колод, увеличивающих поляризацию шаг за шагом. Прослеживается некоторая разница - можно создавать колоды, способные бороться даже в одном диапазоне поляризации. Процент побед около 50,5% достижим против более поляризованных колод. Отлично, мы сделали всё возможное, чтобы получить эти сочные 0,5% ;).

Хотя эта тема кажется очень абстрактной, на основе исследования всё же можно сделать некоторые практические выводы. Побеждать более поляризованные колоды в первом раунде только за счет более плавной кривой невозможно. Наиболее важны другие факторы.

Заключение

Спасибо, что прочитали!

Следующую часть цикла "Математика и вероятности в Гвинт" мы посвятим рукам, получившимся после муллиганов первого раунда.

Большая просьба - если вам понравился перевод, напишите свой комментарий по этой теме, так мы будем знать, что переводы и статьи вокруг мира Гвинта и вселенной Ведьмака вам интересны!

Вы можете поддержать команду TGGwent и развитие ее проектов здесь:
https://new.donatepay.ru/@tggwent