Математический принцип наилучшего выбора
Представьте, что вы едете по шоссе и замечаете, что в вашем топливном баке заканчивается топливо. GPS подсказывает, что на маршруте 10 заправок. Естественно, вам нужен самый выгодный вариант. Вы проезжаете мимо первых нескольких, смотрите цены, прежде чем подъехать к одной с, вероятно, выгодным предложением. Остановитесь ли вы, не зная, насколько лучше может быть цена на следующих заправках? Или вы продолжите поиски, рискуя пожалеть о том, что отказались от синицы в руках? Вы не сможете вернуться назад, поэтому перед вами стоит выбор «сейчас или никогда». Какая стратегия максимизирует шансы выбрать лучший вариант?
Исследователи активно изучали эту проблему наилучшего выбора и ее многочисленные варианты, поскольку ее привлекательность в реальном мире и удивительно элегантное решение обращают на себя внимание. Эмпирические исследования показывают, что люди, как правило, не могут найти оптимальную стратегию, поэтому, узнав этот секрет, вы сможете принимать отличные решения в любой ситуации.
У этой головоломки есть множество названий. Например, «проблема секретаря», когда вы по очереди оцениваете претендентов на работу, не зная о квалификации тех, кто еще не прошел собеседование. Или, скажем, «проблема брака», когда вы ранжируете женихов по их соответствию определенным критериям. Все варианты задачи имеют одну и ту же математическую структуру, в которой известное количество ранжируемых возможностей представляется по одной за раз. Вы должны взять на себя обязательство принять или отвергнуть каждую из них на месте, без права возврата (если вы откажетесь от всех вариантов, то останетесь с последним из них). Возможности могут поступать в любом порядке, поэтому нет причин полагать, что лучшие кандидаты с большей вероятностью окажутся в начале или конце очереди.
Давайте проверим вашу интуицию. Если бы на шоссе было 1000 заправок (или в вашем офисе 1000 соискателей, или на сайте знакомств 1000 анкет), и вам пришлось бы последовательно оценивать каждую из них и выбирать, когда остановиться, каковы шансы, что вы выберете абсолютно лучший вариант? Если вы выбираете наугад, то найдете лучший вариант лишь в 0,1 процента случаев. Даже если вы попробуете стратегию, более умную, чем случайное угадывание, вам может не повезти, если лучший вариант появится довольно рано, когда нет сравнительной информации, чтобы его обнаружить, или довольно поздно, когда вы, возможно, уже остановитесь, опасаясь, что возможности иссякнут.
Удивительно, но оптимальная стратегия приводит к тому, что вы выбираете лучший вариант почти в 37% случаев. Ее успешность также не зависит от количества вариантов. Даже при миллиарде вариантов и нежелании довольствоваться вторым, вы сможете найти свою иголку в стоге сена более чем в трети случаев. Выигрышная стратегия проста: откажитесь от первых примерно 37% вариантов, несмотря ни на что. Затем выберите первый вариант, что лучше всех остальных, с которыми вы до сих пор сталкивались (если вы не нашли такой вариант, то возьмите последний).
Добавляет веселья любимая математиками постоянная величина e = 2,7183…, которая появляется в решении. Известное также как число Эйлера, «e» славится тем, что появляется во всей математической картине в, казалось бы, несвязанных между собой ситуациях. В том числе и в задаче о наилучшем выборе. В действительности, эти ссылки на 37% в оптимальной стратегии и на соответствующую вероятность успеха равны 1/e или около 0,368. Магическое число возникает из-за противоречия между желанием увидеть достаточно примеров, чтобы получить информацию о распределении вариантов, и нежеланием ждать слишком долго, чтобы лучший не прошел мимо. В доказательстве утверждается, что 1/e уравновешивает эти силы.
Первое известное упоминание о задаче наилучшего выбора появилась в колонке математика Мартина Гарднера «Математические игры» в журнале Scientific American. Задача стала популярной в математическом сообществе, в 1950-х годах, и Гарднер представил ее в виде небольшой головоломки в февральском номере 1960 года под названием «Гугол», а в следующем месяце предложил решение. Сегодня эта проблема вызывает тысячи просмотров в Google Scholar, поскольку математики продолжают изучать ее многочисленные варианты. Что, если вам разрешено выбрать несколько вариантов, и вы выиграете, если любой из них окажется лучшим? Что, если противник выбрал порядок вариантов, чтобы обмануть вас? Что, если вам не нужен самый лучший вариант и вы удовлетворитесь вторым или третьим? Исследователи изучают эти и бесчисленные другие сценарии того, когда остановиться в своем выборе, и в математике это называется «теорией оптимальной остановки».
Ищете дом или супруга? Разработчик учебных программ по математике Дэвид Уиз применил стратегию наилучшего выбора для этой задачи. Во время поиска жилья Уиз понял, что ему придется выбирать квартиру на месте во время просмотра, пока ее не выкупил другой покупатель. Учитывая темпы просмотров и шестимесячный срок, он подсчитал, что успеет посетить 26 объектов. А 37% от 26 округляются до 10, поэтому Уиз отказался от первых 10 мест и подписал контракт с первой последующей квартирой, которая понравилась ему больше всех предыдущих. Не осмотрев оставшиеся, он не мог знать, действительно ли ему досталась лучшая, но, по крайней мере, мог быть спокоен, зная, что максимально увеличил свои шансы.
В двадцатилетнем возрасте Майкл Трик, ныне декан Университета Карнеги-Меллон в Катаре, применил подобные рассуждения к матримониальному вопросу. Он посчитал, что люди начинают встречаться в 18 лет, и решил, что после 40 лет он не будет заинтересован в свиданиях. Кроме того, он учел условия постоянной частоты встреч с потенциальными невестами. Если взять 37% от этого промежутка времени, то на момент судьбоносной встречи ему будет 26 лет. Трик поклялся сделать предложение первой встречной женщине, которая понравится ему больше, чем все его предыдущие свидания в этом возрасте. Он встретил мисс Райт, опустился на колено и тут же получил отказ. Задача о наилучшем выборе не охватывает случаи, когда возможности могут отвергнуть вас. Возможно, лучше оставить математику в стороне от романтики.
Эмпирические исследования показывают, что люди склонны прекращать поиск слишком рано, когда сталкиваются со сценариями наилучшего выбора. Поэтому изучение правила 37% может улучшить процесс принятия решений. Не забудьте только перепроверить, что ваша ситуация соответствует всем условиям задачи: известное количество ранжируемых вариантов, представленных по одному в любом порядке. Ваша цель — это получить лучший, и вы не можете вернуться назад. Были проанализированы практически все возможные варианты этой задачи, и изменение условий может изменить оптимальную стратегию как в большую, так и в меньшую сторону. Например, Уиз и Трик на самом деле не знали общего числа потенциальных кандидатов, поэтому подставили вместо них приблизительные оценки. Если решения не нужно принимать на месте, это полностью сводит на нет необходимость в стратегии: просто оцените каждого кандидата и выберите фаворита. Если не требуется выбирать самый лучший вариант, а вы просто хотите получить в целом хороший результат, то подобная стратегия все равно работает, но оптимальным становится другой порог, обычно более низкий, чем 37%. С какой бы дилеммой вы ни столкнулись, наверняка найдется оптимальная стратегия, которая поможет вам выйти из игры с хорошим результатом.
Больше статей у нас на канале: https://t.me/truebusiness
