Санкт-Петербургский парадокс

Санкт-Петербургский парадокс — парадокс, иллюстрирующий расхождение между теоретически оптимальным поведением игрока и «здравым смыслом».

Игрок бросает монету до тех пор, пока не выпадет герб. Если это произойдет при первом бросании, то банк платит игроку 1 руб. В противном случае игрок бросает монету еще раз. Если герб выпадет при втором бросании, банк платит 2 руб., при третьем — 4 руб. и т.д., т.е. выплата каждый раз удваивается. Таким образом, если герб выпадет при (но не раньше!) n-м бросании монеты, то игрок получит 2^(n-1) руб. Какой взнос в банк должен предварительно сделать игрок, чтобы игра была одинаково выгодна и ему, и банку (т.е. чтобы она была честной)?

Игрок получит от банка 1 руб. с вероятностью 1/2, 2 руб. — с вероятностью 1/4 и т.д.Следовательно, средняя выплата, которую он вправе ожидать, составит

т.е. сумма выплаты бесконечна.

Среди различных вариантов этой задачи, позволяющих получить конечный результат, один из наиболее интересных принадлежит Габриэлю Крамеру (около 1730 г.). Он изложил его в письме к Николаю Бернулли. Крамер предположил, что капитал банка ограничен и составляет, например, 2^24 руб. Тогда с вероятностью 1/(2^n) игрок получит 2^(n-1) руб. после n-го бросания, но это утверждение остается в силе только до тех пор, пока n<25; при выпадении герба в дальнейших бросаниях он все равно получит только 2^24 руб. Так как

то взнос составляет 13 руб. — а это уже вполне разумная цифра.