Что больше?

Петя отметил внутри правильного шестиугольника некоторую точку и соединил ее отрезками с каждой из вершин. Получившиеся шесть треугольников он покрасил через один в два цвета — красный и зеленый. Что больше: сумма площадей красных треугольников или сумма площадей зеленых треугольников?

Решение

Наш шестиугольник двумя способами достраивается до правильного треугольника: можно продлевать основания красных треугольников (получившийся треугольник обозначим Т1), а можно — зеленых (а этот треугольник назовем Т2, рис. 1). Получившиеся два треугольника равны друг другу.

Заметим теперь, что сумма высот красных треугольников — это сумма расстояний от отмеченной точки до сторон треугольника Т1. А эта сумма равна высоте данного треугольника. Доказав этот факт, мы получим и решение нашей задачи, потому что по аналогичным соображениям сумма высот зеленых треугольников будет равна высоте треугольника Т2, а у равных правильных треугольников высоты одинаковые, то есть суммы высот красных и зеленых треугольников равны друг другу.

Итак, докажем, что сумма расстояний от внутренней точки Р правильного треугольника АВС до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте этого треугольника. Для этого соединим эту точку с вершинами треугольника (рис. 2).

Получается, что треугольник АВС разрезан на три меньших треугольника РАВ, РВС и РАС, а значит, его площадь равна сумме площадей этих трех треугольников:

Применяем все ту же формулу для площади из подсказки и пользуемся тем, что все стороны правильного треугольника равны друг другу (обозначим их длину a):

После сокращений получаем требуемое:

Источник: elementy.ru