Задачи викторины «Восклицание» про логарифм: 3 идеи
Всем привет! В этой статье мы разберём логарифм в том виде, в каком он применяется в викторине «Восклицание». Эта статья ставит своей целью закрепление остаточных школьных знаний о логарифме, она позволяет читателю научиться отвечать на вопросы в формате викторины «Восклицание».
Как правило, в викторине «Восклицание» логарифм значительно упрощён по сравнению со школьной программой (часто рассматриваются только целые числа). Поэтому прочтение этой статьи не может рассматриваться как замена учёбы в школе.
Помните, что викторина «Восклицание» не оказывает услуг в сфере образования).
Итак, в статье будут рассмотрены три идеи, связанные с понятием «логарифм», которые можно применить для решения задач в рамках викторины.
Первая задача, которая будет решена в статье, просматривается на логотипе этой статьи, если приглядеться к нему внимательно. Сколько восьмёрок нужно перемножить, чтобы получить 512? (В какую степень нужно возвести 8, чтобы получить 512?)
Идея 1. Определение логарифма («что такое логарифм?»)
Пример вопроса викторины на эту тему
1. Сколько восьмёрок нужно перемножить, чтобы получить 512?
Если вы знали правильный ответ и способны объяснить алгоритм решения, можете пропустить эту часть и перейти к Идее 2. Если вам было тяжело ответить на этот вопрос, прочтите пояснение ниже.
Чтобы ответить на подобное задание в формате викторины «Восклицание», нужно применить логарифм.
Определение. Степень с натуральным показателем n - это произведение n одинаковых чисел.
Поясним на примерах. Вторая степень - это произведение двух одинаковых чисел. Например, 8*8=64. Значит, 8 во второй степени - это 64. Это записывается так: 8² = 64 или 8^2 = 64. Последний вариант используется редко, в основном в информатике, если нельзя использовать символ ² или он не отображается правильно.
Аналогично, 7*7=49. Поэтому 7² = 49 или 7^2 = 49.
2*2*2=8. Значит, 2³=8. 2^3=8. Два в третьей степени равно 8.
2*2*2*2=16. Значит, 2⁴=16. 2^4=16. Два в четвёртой степени равно 16.
Определение. Пусть число a возводится в неизвестную степень, и в результате получается число b. Тогда эта неизвестная степень - это логарифм числа b по основанию a.
Таким образом, чтобы решить подобные задания, нужно догадаться, в какую степень требуется возвести исходное число (число a), чтобы получить новое число (число b). А чтобы это сделать, нужно понять, сколько равных чисел a нужно перемножить, чтобы получить целевое число (число b). Чтобы это понять, можно применить подбор.
Пример. Сколько девяток нужно перемножить, чтобы получить 729?
1. 9 * 9 = 81. Не подходит. Девятки две, но получилось не 729, а 81. 2 не является ответом на вопрос викторины.
2. 9 * 9 * 9 = 729. Подходит. Девятки три, получилось 729. 3 является ответом на вопрос викторины.
3. Можно перебирать и дальше: 9*9*9*9, 9*9*9*9*9... Но в результате перемножения четырёх, пяти (и т. д.) девяток будут получать числа, которые больше 729. Значит, других правильных ответов на указанный вопрос нет (мы рассматриваем натуральные числа, в школьном курсе подробнее поясняется, почему никаких других чисел-ответов, относящихся к действительным числам, нет).
1. Сколько пятёрок нужно перемножить, чтобы получить 625?
2. Сколько троек нужно перемножить, чтобы получить 243?
3. Сколько двоек нужно перемножить, чтобы получить 64?
4. Сколько четвёрок нужно перемножить, чтобы получить 256?
5. Сколько семёрок нужно перемножить, чтобы получить 49?
Чтобы проверить себя, сложите пять получившихся у вас чисел и введите результат в форму:
Чтобы вам было легче отвечать на подобные вопросы, мы можете выучить таблицы степеней чисел 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13 и т. д. В таблицах могут быть записаны результаты вычисления квадрата, куба, четвёртой, пятой степени. Как правило, в значительной степени вопросы посвящены степеням числа 2, вопросы чрезмерной сложности встречаются в викторине «Восклицание» редко. Также учитывайте, что степени 4 и 8 - это те же степени двойки, степени 9 - это те же степени 3. Также вы можете самостоятельно составить аналогичные вопросы и включить их в какую-нибудь свою викторину, если вы решите её провести, но проследите, чтобы ответом на них было целое число.
Дополнительная информация. Для ответа на вопрос полезно знать, что вторая степень называется квадратом (полным квадратом, точным квадратом) числа, а третья степень называется кубом (точным кубом) числа. Также важно знать, что в школьном курсе логарифмы, которые не являются целыми и не являются рациональными числами, записываются с помощью символов log, lg и ln. Например, log₂7 - это «обобщённое» нецелое «количество» двоек, которое нужно перемножить, чтобы получить число 7. Для ответа на вопросы викторины знание символов log, lg и ln чаще всего не требуется.
Идея 2. Логарифмическая шкала
2. На диаграмме демонстрируется прибыль различных компаний. Прибыль компании К. составляет 5 000 000 долларов, а прибыль компании Н. составляет 50 000 000 долларов. Также известно, что прибыль компании Л. составляет 5 000 000 000 долларов.
Известно, что диаграмма составлена на основе принципа логарифмической шкалы: каждый раз, когда прибыль соответствующей компании увеличивается в 10 раз, высота столбика, изображающего прибыль компании, увеличивается на одно и то же число сантиметров.
Известно, что длина столбика, показывающего прибыль компании К., равна 6 см. Длина столбика, показывающего прибыль компании Л., равна 9 см. Найдите длину столбика, которым обозначена прибыль компании Н. Ответьте числом.
I. По условию при увеличении прибыли в 1000 раз длина столбика возросла на 9-6=3 см.
II. Значит, при увеличении прибыли в 10 раз (увеличить прибыль в 1000 раз - трижды увеличить её в 10 раз) длина столбика возрастает на 3/3=1 см.
III. Длина столбика, демонстрирующего прибыль компании Н., равна 6+1=7 см, поскольку прибыль этой компании в 10 раз больше прибыли компании К.
На диаграмме демонстрируется величина различных натуральных чисел. Триллион представляет собой единицу с 12 нулями, миллиард - единицу с 9 нулями, миллион - единицу с 6 нулями.
Известно, что диаграмма составлена на основе принципа логарифмической шкалы: каждый раз, когда число увеличивается в 10 раз, высота столбика, изображающего прибыль компании, увеличивается на одно и то же число сантиметров.
Известно, что длина столбика, изображающего триллион - 24 см, миллион - 12 см. Какова длина столбика, изображающего миллиард (в миллиметрах)? Ответьте числом.
Решение аналогично задаче выше, но, если вы ответили 18, то попались в ловушку от составителя теста (см. ниже).
Решение. Оно аналогично: поскольку триллион в миллион раз больше, чем миллион, а высота столбика триллиона на 12 см больше, при каждом увеличении в 10 раз столбик возрастает на 12/6=2 мм (делить именно на 6 необходимо, поскольку 10*10*10*10*10*10=1000000, то есть для получения миллиона необходимо перемножить 6 десяток). Когда число увеличивается в 1000 раз, высота столбика возрастает на 6 см. Высота столбика миллиарда: 12+6=18 см.
«Какова длина столбика, изображающего миллиард (в миллиметрах)?»
Ответ равен 180, так как в 1 сантиметре 10 миллиметров. 18*10=180.
Идея 3. Счёт нулей
Пусть число представляет собой единицу, за которой следует N нулей, где вместо N можно подставить любое натуральное число или 0. Тогда десятичный логарифм такого числа равен N (для чисел, которые не представляют собой единицу, за которой следует N нулей, это свойство не выполняется).
Например, у числа 10 за единицей следует один нуль. Десятичный логарифм числа 10 равен 1.
У числа 10 000 за единицей следуют четыре нуля. Десятичный логарифм числа равен 4.
У числа 100 000 000 за единицей следуют восемь нулей. Десятичный логарифм числа равен 8.
Пример вопроса в формате викторины «Восклицание»:
3. Дано число 10 000 000 000. Найдите десятичный логарифм этого числа. Для этого укажите в качестве ответа количество нулей в этом числе. Ответьте числом.
Ответ: 10 (просто подсчитайте нули).
У некоторых натуральных чисел (не у всех) можно просто подсчитать количество нулей, чтобы найти их десятичный логарифм. К таким числам относится и число 1 000 000 000 000 000 000.
Найдите десятичный логарифм этого числа, пользуясь правилом, упомянутым в условии.
Интересный факт. Порешав подобные задачи, можно понять, что десятичный логарифм единицы равен нулю. Почему?
Десятичный логарифм числа 100 000 - 5.
Десятичный логарифм числа 10 000 - 4.
Десятичный логарифм числа 1000 - 3.
Десятичный логарифм числа 100 - 2.
Десятичный логарифм числа 10 - 1.
Десятичный логарифм числа 1 - 0.
Эта цепочка выглядит логически верной. Строгие рассуждения приводятся в школьном курсе.
3+. Найдите десятичный логарифм (по-другому обозначается lg) числа...
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
Ответьте числом. Правильный ответ - в комментариях (вы также можете заполнить форму).
И, если вы решили предыдущую задачу, вот ещё одна бонусная задача на ту же тему с формулировкой Объясните, почему.
3++. «И помните: если у вас десять миллиардов проблем, то дважды возьмите от них десятичный логарифм! Тогда проблема останется всего одна!»
Правильный ответ - тоже в комментариях.
На этом викторина «Восклицание» прощается с вами. Надеюсь, вам понравилось это математическое приключение. Удачного логарифмирования!!!