Как найти среднее значение? 4 идеи решения задач викторины «Восклицание»
Здравствуйте, дорогие читатели канала! В этот раз мы рассмотрим различные средние значения (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое) и их использование в вопросах викторины «Восклицание».
Мы рассмотрим 4 идеи решения задач: использование среднего арифметического, использование среднего арифметического в обратных задачах, использование среднего геометрического, «ловушку» среднего арифметического и среднее гармоническое.
В статье каждая идея разбирается на примерах (всего их 14), приводятся 4 задачи для самостоятельного решения! Задания соответствуют формату викторины «Восклицание». Вперёд!
Средние - одна из тем математических задач викторины «Восклицание»
Идея 1. Среднее арифметическое (определение среднего арифметического, «что такое среднее арифметическое?»)
Правило. Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно их сумму разделить на количество.
Пример 1. Найдите среднее арифметическое чисел 4 и 10.
Решение: (4+10)/2=14/2=7 (поскольку у нас 2 числа, делим на 2). Ответ - 7.
Пример 2. Найдите среднее арифметическое чисел 2, 4 и 12.
Решение: (2+4+12)/3=18/3=6 (поскольку у нас 3 числа, делим на 3). Ответ - 6.
Пример 3. Найдите среднее арифметическое чисел 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5.
Решение: (3+3+4+4+4+4+5+5)/8=32/8=4 (поскольку у нас 8 чисел, делим на 8). Ответ - 4.
Пример 4. Иван зарабатывает 30 000 рублей в месяц, а Пётр - 9 970 000 рублей в месяц. Сколько в среднем зарабатывают эти два человека за месяц (в миллионах рублей)?
Решение: (20 000+9 980 000)/2=10 000 000/2=5 000 000 (поскольку у нас 2 числа, делим на 2; под средним, если не указано иного, подразумевается среднее арифметическое).
Ответ - 5 (нужно перевести из единиц рублей в миллионы рублей).
Эта задача показывает, почему не всегда стоит полагаться на статистику средней зарплаты.
Задача для самостоятельного решения
1. Рейтинг игрока в компьютерной игре представляет собой действительное число и равен среднему арифметическому его рейтинга на низком уровне сложности и на высоком уровне сложности.
Если рейтинг Василия на низком уровне сложности составляет 5255 очков, а на высоком уровне - 4745 очков, чему равен рейтинг Василия в этой компьютерной игре в целом? Ответьте числом (укажите количество очков).
Идея 2. Обратные задачи на среднее арифметическое
В таких задачах среднее арифметическое будет известно (приведено в условии), а найти нужно будет либо сумму чисел, либо конкретное число из множества этих чисел.
Пример 5. Синоптики вычисляют среднюю температуру недели (в градусах Цельсия) так: в каждый из пяти рабочих дней недели (понедельник, вторник, среда, четверг, пятница) записывают измеренную температуру, находят среднее арифметическое всех записанных температур.
Известно, что средняя температура недели в регионе АБВГД была равна 13 градусам Цельсия. В понедельник на этой неделе температура была равна 10 градусов Цельсия, во вторник - 20 градусов Цельсия, в среду - 10 градусов Цельсия, в четверг - 10 градусов Цельсия.
Чему была равна температура на этой неделе в пятницу (в градусах Цельсия)? Ответьте числом.
Решение. Сумма температур: 13*5=65 (градусов Цельсия).
Сумма известных температур: 10+20+10+10=50 (градусов Цельсия).
Неизвестная температура: 65-50=15 (градусов Цельсия). Это и есть температура воздуха в пятницу.
Пример 6. Среднее арифметическое 8 чисел равно 12. Найдите сумму этих 8 чисел.
Пример 7. Среднее арифметическое нескольких чисел равно 12, а сумма этих же чисел равна 48. Сколько всего чисел?
Пример 8. Проводится игра. Согласно её правилам, сначала игрок А придумывает несколько (действительных) чисел. Далее игрок А сообщает игроку Б их сумму и среднее арифметическое. Задача игрока Б - назвать, сколько чисел загадал игрок А. (необязательно называть, какие именно числа он загадал). Может ли игрок А выбрать такие числа, чтобы игрок Б не смог справиться со своей задачей?
Решение. Да, может. Пусть игрок А загадает 5 нулей. Сумма этих чисел - 0, среднее арифметическое - 0. Игрок Б никак не сможет понять, что игрок А загадал именно 5 нулей, а не, например, 2 или 3 нуля. То есть игрок А сможет выбрать такие действительные числа, что игрок Б не справится со своей задачей.
Задача для самостоятельного решения
2. На мультиспортивных состязаниях команда Вперёд! в среднем завоевывала ровно по 12 медалей каждый день. Если мультиспортивные состязания длились 17 дней, сколько всего медалей завоевала на них эта команда?
Осторожно, правильный ответ!..
Идея 3. Среднее геометрическое
Пусть дано несколько чисел. Если их можно заменить одинаковыми (неотрицательными действительными) числами так, чтобы произведение чисел не изменилось, то у исходного ряда чисел существует среднее геометрическое. Среднее геометрическое равно новому члену ряда чисел после такой замены.
Пример 9. Пусть даны числа 1, 4, 1, 4. Их произведение равно 16 (1*4*1*4=16). Можно сделать все числа одинаковыми с помощью замены, причём произведение всё так же будет равно 16. Для этого нужно просто заменить все числа на 2. Получится: 2, 2, 2, 2 (2*2*2*2=16). Значит, неотрицательное число 2 - это среднее геометрическое ряда чисел 1, 4, 1, 4.
Важно! Для упрощения в викторине «Восклицание» среднее геометрическое рассматривается только тогда, когда оно является целым или рациональным числом. Викторина «Восклицание» - это тест остаточных знаний школьной программы, поэтому участники викторины не обязаны помнить, как вычисляется квадратный корень и корень n-й степени (корень n-й степени в математике позволяет найти среднее геометрическое для любого ряда чисел, например, для ряда 3, 5, 7, для него среднее геометрическое не является целым числом).
Пример 10. Даны числа: 1, 3, 9, 27, 81. Найдите среднее геометрическое ряда чисел. Для этого подберите число, на которое можно заменить каждое из чисел ряда так, чтобы произведение чисел ряда не изменилось. Ответьте числом.
Решение. 9*9*9*9*9=1*3*9*27*81. Поэтому среднее геометрическое равно 9. Ответ - 9.
Примечание. Заметим, что одну из девяток даже не потребовалось заменять. Если бы были даны числа 7, 7, 7, 7, 7, 7, то ни одно из чисел не потребовалось бы заменять - среднее геометрическое ряда равно 7.
Пример 11. Найдём среднее геометрическое чисел 2 и 2048. Их произведение - 4096. Поскольку 64*64=4096, то 64 - это среднее геометрическое чисел 2 и 2048.
Пример 12. Найдём среднее геометрическое чисел 8 и 32. Их произведение - 256. Поскольку 16*16=256, то 16 - это среднее геометрическое чисел 8 и 32.
Задача для самостоятельного решения
3. Даны числа 7 и 343. Найдите среднее геометрическое этих чисел. Для этого подберите число, на которое можно заменить каждое из чисел ряда так, чтобы произведение чисел ряда не изменилось. Ответьте числом.
Правильный ответ на эту задачу равен...
Примечание. Обратные задачи на эту тему тоже можно сконструировать. Например, если одно из чисел равно 4, второе число неизвестно, а среднее геометрическое равно 8, то второе число равно 16. Действительно, произведение чисел должно быть 8*8=64. Так как одно из чисел - 4, то второе число можно вычислить так: 64/4=16.
Идея 4. «Ловушка» среднего арифметического
Пример 13. Изначально бак был полон и содержал в себе 600 л воды. За первые 6 часов бак был опустошён наполовину, а за следующие 2 часа бак был опустошён полностью. С какой средней скоростью (в л/ч) уменьшался объём воды в баке? Ответьте числом.
Решение. 600 л воды «ушли» за 6+2=8 часов. Поэтому средняя скорость равна 600/8=75 л/ч. Ответ - 75.
Пример 14. Изначально бак был полон и содержал в себе 600 л воды. Пока бак не был опустошён наполовину, вода из бака вытекала со скоростью 50 л/ч, а после этого вода стала вытекать со скоростью 150 л/ч. С какой средней скоростью (в л/ч) уменьшался объём воды в баке? Ответьте числом.
«Решение». Найдём среднее арифметическое чисел 50 и 150. Ответ равен (50+150)/2=200/2=100 л/ч... Погодите-ка!
Дело в том, что это одна и та же задача. В Примере 14, как и в тринадцатом примере, вода вытекала в течение первых 6 часов со скоростью 50 л/мин, а в течение последних 6 часов - со скоростью 150 л/мин. В обоих случаях объём бака - 600 л. Это один и тот же процесс! Почему же ответы разные?
Проблема кроется в том, что не стоило находить среднее арифметическое 50 и 150. Этот шаг не ведёт к правильному решению задачи. Этот шаг ошибочен.
Верное решение. Чтобы найти среднюю скорость, нужно общий объём бака (600 литров) делить на общее время вытекания воды (6+2=8 часов). Получится всё так же 600/8=75 л/ч. Ответ 100 л/ч ошибочен.
В этой задаче, правда, величины 6 ч и 2 ч неизвестны. Их необходимо сначала найти: 300 л / (50 л/ч) = 6 ч (вытекала вода до увеличения скорости), 300 л / (150 л/ч) = 2 ч (вытекала вода после увеличения скорости).
Подытожим: нельзя бездумно использовать среднее арифметическое, чтобы искать среднюю скорость. Чтобы найти среднюю скорость, необходимо делить общий объём на общее время.
Аналогичная идея может использоваться и в задачах на движение.
Другой способ понять то же самое.
Пусть первые 6 часов вода вытекала со скоростью 50 л/ч (и вытекла половина воды), а потом оставшаяся часть воды сразу же вытекла (с «бесконечной» скоростью, это понятие используется здесь нестрого). Ясно, что нет смысла усреднять 50 л/ч и «бесконечную» скорость (получится «бесконечная скорость», что явно не соответствует логике). Вместо этого разумнее считать, что средняя скорость, с которой вода вытекала - 100 литров в час (в баке 600 л воды, она вытекла за 6 часов).
Поэтому в такой задаче нет смысла находить среднее арифметическое двух скоростей (как в этом случае, когда усредняется скорость 50 л/ч и бесконечная скорость, так и вообще).
Задача для самостоятельного решения
4. Бак имеет объём 2400 л. Изначально бак пуст. Пока бак не был наполнен наполовину, вода в бак затекала со скоростью 200 л/ч, а после этого вода стала затекать в бак со скоростью 600 л/ч. С какой средней скоростью (в л/ч) увеличивался объём воды в баке? Ответьте числом.
Факт. Ответом к этой задаче является среднее гармоническое двух скоростей. Например, 75 - среднее гармоническое 50 и 150. 300 - среднее гармоническое 200 и 600.
Ещё факт! Существуют также среднее квадратическое. Однако его использовать в формате викторины «Восклицание» тяжело, потому что тяжело подобрать элементарно решающиеся задачи на эти средние.
Бонусная идея: идея №5
При вычислении среднего арифметического числа ряда можно заменять на другие так, чтобы сумма чисел не менялась.
При вычислении среднего геометрического числа ряда можно заменять на другие так, чтобы произведение чисел не менялось.
Например, среднее геометрическое чисел 1, 1, 8 и среднее геометрическое чисел 1, 2, 4 - это одно и то же число (оно равно 2). И правда, 1*1*8=8, 1*2*4=8.
Более простой и очевидный пример - со средним арифметическим. Например, чтобы найти среднее арифметическое чисел 3, 4 и 5, можно попытаться найти среднее арифметическое чисел 4, 4 и 4 (т. е. 3 и 5 можно заменить на 4 и 4). Ответ - 4. Однако важно следить за тем, чтобы сумма чисел при этом не менялась (3 и 5 нельзя заменить, скажем, на 7 и 10).
Спасибо за прочтение статьи!
Спасибо за интерес к викторине «Восклицание» - каналу, где можно проверить и углубить свои знания!
Надеюсь, что вам понравилось пополнять свои знания о средних значениях в математике!