Матрицы! Спец. знаний не нужно! 4 идеи решения задач викторины «Восклицание»
Вообще, викторина «Восклицание» — это не викторина по высшей математике, хотя в ней и сделан акцент на математику. Но, несмотря на это, в ней может использоваться слово матрица на интуитивном уровне, особенно в вопросах повышенной сложности.
Не волнуйтесь! В этой публикации мы разберём некоторые вопросы в формате викторины «Восклицание», посвящённые матрицам, чтобы вы смогли давать верные ответы на её задания! В конце статьи вас ждёт тест, который позволит вам узнать, хорошо ли вы изучили её материал.
Для целей этой статьи матрица — это таблица, заполненная числами. В публикации создателем викторины «Восклицание» будут разобраны решения некоторых заданий, связанных с матрицами.
- нахождение суммы всех элементов матрицы (и задачи на эту тему),
- нахождение следа матрицы,
- нахождение определителя матрицы 2х2,
- нахождение ранга матрицы 2х2.
Итак, матрица — это таблица из нескольких строк и нескольких столбцов, заполненная числами.
(Для целей этой статьи слово матрица можно рассматривать как полный синоним таблицы, заполненной числами.)
Например, будем называть таблицу 2х3, заполненную натуральными числами от 1 до 6, матрицей 2х3:
В ней 2 строки и 3 столбца. Полезно запомнить, что сначала пишется количество строк, затем — количество столбцов.
Идея 1. Сумму всех чисел, содержащихся в матрице, можно найти двумя способами
Способ 1: сначала найти сумму чисел в каждой строке, затем - сложить результаты.
Способ 2: сначала найти сумму чисел в каждом столбце, затем - сложить результаты.
Задача 1. Дана таблица, заполненная числами, которая содержит две строки и три столбца.
Сумма чисел первой строки равна 3, сумма чисел второй строки равна 3, сумма чисел первого столбца равна 2, сумма чисел второго столбца равна 2. Чему равна сумма чисел третьего столбца?
Сумма чисел третьего столбца: (сумма чисел матрицы) - (сумма чисел первого столбца + сумма чисел второго столбца).
Вычисляем: 6-(2+2)=6-4=2. Ответ - 2.
Что это может быть за матрица (таблица с числами)? Например, такая:
- сумма чисел первой строки — 3;
- сумма чисел второй строки — 3;
- сумма чисел первого столбца — 2;
- сумма чисел второго столбца — 2;
- сумма чисел третьего столбца (мы её нашли) — 2.
Обратите внимание, что иногда матрицы из условия может вовсе не существовать.
Например, пусть дана матрица (таблица) 2х2 из натуральных чисел, у которой сумма чисел первой строки — 1, сумма чисел второй строки — 1, сумма чисел первого столбца — 1. Логично было бы предположить, что сумма чисел второго столбца равна (1+1)-1=1...
НО: это неправда, потому что такой матрицы не существует. Действительно, в первой строке сумма чисел должна быть не меньше 2, поскольку в ней 2 натуральных числа, а натуральные числа — это числа, которые не меньше 1. Значит, условие задачи неверно — не существует матрицы, содержащей натуральные числа, у которой сумма чисел первой строки равна 1.
Идея 2. Посчитаем определитель матрицы 2х2
Дана таблица 2х2, заполненная числами.
Чтобы найти определитель матрицы, соответствующей этой таблице 2х2, нужно:
а) перемножить числа на каждой из двух диагоналей матрицы 2х2;
б) из произведения чисел на главной диагонали вычесть произведение чисел на побочной диагонали.
Что такое главная диагональ? Она выделена жирным в матрице:
Соответственно, другая диагональ называется побочной диагональю (выделена курсивом):
Оно короткое: 100*800-200*200=80000-40000=40000.
Аналогично можно подсчитать определитель для любой матрицы 2х2 (таблицы 2х2, заполненной числами).
Слово детерминант - это синоним слова определитель. Эти два слова (слово детерминант и слово определитель) обозначают в математике одно и то же. Если вас просят найти детерминант, то это по сути означает, что нужно найти определитель.
При этом, поскольку викторина «Восклицание» позиционируется как тест остаточных знаний, в её вопросах чаще всего содержатся прямые инструкции по нахождению детерминанта. Вас не попросят в рамках этой викторины просто найти детерминант — в вопросе будет указано, как именно это делается. Проще говоря, не будет нужно никаких специальных знаний, чтобы найти определитель, если вы отвечаете на вопрос викторины «Восклицание».
Вопрос, таким образом, проверяет ваше умение считать, что полностью соответствует идее и концепции викторины — это викторина для участников без специальной математической подготовки, либо для тех, кто имеет только остаточные знания школьной программы.
Идея 3. Найдём след матрицы
След матрицы — это сумма элементов на её главной диагонали. Во избежание неопределённости будем искать след только для квадратных матриц (для таблиц, у которых столько же строк, сколько и столбцов).
Возьмём такую матрицу (опять же, это просто таблица).
Выделим у этой матрицы главную диагональ. Для этого выберем число, находящееся в левом верхнем углу. Далее выберем число, которое находится на одну "клетку" ниже и правее предыдущего числа. Продолжим выбирать числа, пока это можно будет делать. Получим, что главная диагональ выглядит так (выделена жирным):
Осталось сложить выделенные жирным числа.
1+5+9=15. След матрицы равен 15.
А как насчёт матрицы 4х4? У неё ведь тоже можно найти след!
Выделим элементы, расположенные на главной диагонали...
Поскольку викторина «Восклицание» позиционируется как тест остаточных знаний, в её вопросах чаще всего содержатся прямые инструкции по нахождению следа матрицы.
Идея 4. Найдём ранг матрицы 2х2
Сейчас мы будем искать, внимание, не след, а уже ранг матрицы 2х2. Этому также можно научиться, чтобы быть готовым к вопросам про ранг.
Правило нахождения ранга матрицы 2х2.
1. Если матрица состоит из четырёх нулей, то ранг матрицы равен 0.
равен 0, поскольку эта матрица состоит из четырёх нулей.
2. Если матрица состоит из трёх нулей и одного ненулевого числа, ранг матрицы равен 1.
равен 1, поскольку эта матрица состоит из трёх нулей и одного ненулевого числа.
3. Если матрица состоит из двух нулей, которые находятся либо в одной строке, либо в одном столбце, и двух ненулевых элементов, которые, соответственно, также находятся в одной строке (в одном столбце), то ранг матрицы равен 1.
равен 1, поскольку эта матрица состоит из двух нулей и двух ненулевых элементов, ненулевые элементы находятся в одном столбце.
4. Если матрица состоит из двух нулей (и двух ненулевых элементов), которые находятся в разных столбцах/строках, то ранг матрицы равен 2.
равен 2, поскольку эта матрица состоит из двух нулей и двух ненулевых элементов, ненулевые элементы находятся в разных столбцах.
5. Если матрица состоит из одного нуля и трёх ненулевых элементов, её ранг равен 2.
равен 2, поскольку эта матрица состоит из одного нуля и трёх ненулевых элементов.
Если матрица не содержит нулей, то возможны два случая.
6. Первую строку можно домножить на какое-то действительное число, чтобы получилась вторая строка. Тогда ранг матрицы равен 1.
равен 1, поскольку первую строку можно умножить на 2. Тогда получится вторая строка.
равен 1, а не 2. И правда, первую строку можно сначала умножить на 3 (получится (12, 18)), а затем разделить на 2 (получится (6,9)). Значит, существует действительное число, на которое можно умножить первую строку, чтобы получилась вторая строка, и это число обозначается 3/2; 1 1/2; 1,5 («три вторых», «одна целая одна вторая», «одна целая пять десятых»).
7. Первую строку нельзя домножить на какое-то действительное число, чтобы получилась вторая строка. Тогда ранг матрицы равен 2.
Контрольный вопрос. Найти ранг матрицы:
Это случай 6. Ранг матрицы равен 1. Первую строку можно сначала умножить на 3, а затем разделить на 2, и получится вторая строка.
Закрепим знания тестом от викторины «Восклицание»!
Вам предлагается небольшой тест, который проверит, насколько хорошо вы знакомы с четырьмя идеями, описанными выше. В рамках теста вам будет предложено ответить на 4 вопроса.
1. К натуральным числам относятся числа 1, 2, 3, 4, 5...
Дана таблица 3х3, заполненная натуральными числами. Сумма чисел в первой строке равна 2, сумма чисел во второй строке равна 3, сумма чисел в третьей строке равна 4, сумма чисел в первом столбце равна 2, сумма чисел во втором столбце равна 3, сумма чисел в третьем столбце равна 4.
Может ли существовать такая таблица 3х3? Если может, ответьте «ПРАВДА». Если не может, ответьте «ЛОЖЬ». Ответьте словом «ПРАВДА» или «ЛОЖЬ».
2. Найдите детерминант матрицы
Спасибо за прочтение!
Автор викторины «Восклицание» надеется, что вы получили представление о том, что такое след матрицы, что такое ранг и определитель матрицы 2х2, а также о том, что сумму чисел в табличке можно вычислять двумя способами — по строкам и по столбцам.