Викторина «Восклицание» и великие теоремы: три сложных математических утверждения
*Предупреждение! Это дополнительная статья от викторины «Восклицание». Она может быть сложной для восприятия некоторыми людьми.
Эта статья — статья со звёздочкой*.
Ну что же, дорогие читатели канала викторины «Восклицание»...
Сразу хочу предупредить, что для усвоения материала желательно знать ряд тем школьной программы по математике: модуль (абсолютная величина) числа, целые числа, обыкновенные дроби, длина окружности, площадь круга, число «пи», возведение в степень. Например, вы должны понимать, что если перемножать целые числа, то получается целое число. Вы также должны осознавать, что при сложении целых чисел получается целое число.
1-1. Петя перемножил несколько одинаковых натуральных чисел. После этого Вася тоже перемножил несколько одинаковых натуральных чисел (возможно, не равных числам, которые перемножил Петя). Наконец, Коля тоже перемножил несколько одинаковых натуральных чисел (возможно, не равных числам, которые перемножали Петя и Вася). Известно, что все эти люди перемножили одинаковое количество натуральных чисел, хотя сами эти числа и могли быть разными. Количество равных чисел, которые перемножались каждым из участников игры, было не меньше 3.
Если к натуральным числам относятся числа 1, 2, 3, 4, 5..., то чему может быть равна наименьшая разность результата, вычисленного Колей, и суммы результатов, вычисленных Петей и Васей (если разность окажется меньше нуля, то следует, наоборот, взять сумму результатов П. и В. и вычесть из неё результат К.)? Ответьте числом.
Решение. Ясно, что разность по модулю* может равняться 1.
*Фраза «по модулю» означает, что из большего числа вычитается меньшее.
Действительно, пусть Петя перемножит три десятки, Вася - три девятки, Коля - три числа, равных 12.
10*10*10+9*9*9=1729, а 12*12*12=1728.
1729-1728=1 (из большего числа вычитаем меньшее). Поэтому разность может равняться 1 по модулю (в ситуации, когда из большего числа вычитается меньшее).
Осталось понять, может ли разность по модулю равняться нулю. Ну, почему бы не разрешить ей равняться нулю, и правда?
Но тут-то викторина «Восклицание» и подготовила главную математическую ловушку.
Вы никак не сможете подобрать такие числа, чтобы эта разность равнялась нулю.
Но и доказать, что разность не может равняться нулю, вы тоже не сможете.
Дело в том, что в этой публикации мы будем ссылаться на великие теоремы математики. Хотя доказательство этих теорем очень сложно, на их основе вполне можно составить вопрос в формате викторины. В чём же состоит хитрость, которую проявил составитель этой задачи.
Дело в том, что для ответа на этот вопрос требуется применить Великую теорему Ферма.
Великая теорема Ферма утверждает, что разность в этой задаче никогда не может равняться нулю. Таким образом, мы не будет доказывать эту «маленькую теоремку», а просто сошлёмся на неё. Нулю разность равняться не может, а 1 - может. Ясно, что разность не может быть отрицательной или нецелой по условию (произведение целых чисел является целым числом, сумма целых чисел является целой). Поэтому ответ - 1.
Наверняка у вас возникло желание доказать эту теорему, то есть убедиться, что разность не может равняться нулю. Но на самом деле, если это так, то вы попали в невероятную ловушку. Очень долгое время эту теорему не могли доказать люди со специальным математическим образованием. А дилетанты наивно думали, что смогут её доказать, чем саботировали работу научных институтов. Вся причина - в обманчиво простой формулировке теоремы.
Великая теорема Ферма была полностью доказана в конце XX века.
Предупреждение: не пытайтесь доказать эту теорему самостоятельно. Если вы видите в комментариях к этой публикации фальшивые «доказательства» теоремы, не верьте им. Они, скорее всего, не соответствуют современным представлениям науки. Вы также можете, в качестве упражнения, найти опровержение в предложенных вам доказательствах. Викторина «Восклицание» не поддерживает попытки доказать эту теорему и не проверяет правильность опубликованных доказательств.
Итак, вы познакомились с Великой теоремой Ферма: при натуральных числах уравнение a^n + b^n = c^n не имеет решений, если n равняется хотя бы трём. Знак ^ означает, что числа возводятся в степень.
Закрепим знания с помощью задачи.
1-2. Аня перемножила 198 234 643 445 455 одинаковых чисел. Боря перемножил 198 234 643 445 455 одинаковых чисел. Вася перемножил 198 234 643 445 455 одинаковых чисел. Герои могли перемножать различные числа - важно лишь, чтобы у каждого конкретного человека все множители были равными. Известно, что у Васи получилось самое большое число.
Могло ли так получиться, что разность чисел, которые получились у Васи и у Бори (из числа Васи вычитается число Бори), равна числу, которое получилось у Ани? Ответьте "МОГЛО" или "НЕ МОГЛО".
Решение. Если бы так получилось, то можно было бы сказать, что сумма двух результатов равна третьему. А это противоречит описанной выше Великой теореме Ферма.
Зачем решать задачку про 198 234 643 445 455? Дело в том, что Великая теорема Ферма - это значимое культурное достижение, а конкретное число не столь важно. Но, понятно, она может оказаться слишком сложной для восприятия. В этом случае рекомендуется повторить более лёгкие темы школьной программы - дроби, проценты и т. д. Также можно воспользоваться другим источником информации.
Но, конечно же, те, кто считает, что Великая теорема Ферма им не пригодится, по-своему правы. Главное, чтобы они не пытались её доказать)!
Идея 1. Великая теорема Ферма (доказана)
(Если бы автор указал, что это она, в самом начале, многие бы потеряли интерес к фрагменту статьи преждевременно.)
Перейдём к следующему великому утверждению...
Идея 2. Гипотеза Римана (не доказана)
Гипотеза Римана формулируется так:
Пусть дана дзета-функция Римана. Ряд аргументов этой функции в математике называют её нетривиальными нулями. У этих аргументов имеется два действительных числа, соответствующим им - первое называется действительной частью, а второе называют мнимой частью.
- действительные числа - это любые числа, которые могут считаться длиной отрезка. Все натуральные и целые числа - действительные числа, но не все действительные числа - целые или натуральные.
Например, есть такое положительное число, которое при умножении на ему равное даёт 3. Оно не является целым, натуральным, не может быть записано как результат деления целого числа на натуральное. Но это число существует и может быть длиной отрезка. Оно является действительным числом.
- действительная часть (не путать с действительными числами) - это одно конкретное действительное число.
Важно! Гипотеза утверждает, что у этих аргументов (нетривиальных нулей) действительная часть равна 1/2. Это утверждение не доказано, то есть нельзя точно сказать, верно ли это утверждение, или неверно.
Поскольку в гипотезу входит несложная для восприятия дробь, равная 1/2, можно составить большое количество тестовых заданий на тему гипотезы Римана.
1. Предполагаемая действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана, умноженная на 10, равна некоторому натуральному числу. Какому? Ответьте числом.
Правильный ответ: 5 (1/2 * 10 = 5).
2. Предполагаемую действительную часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана разделили на неё саму. Какое число получилось? Ответьте числом.
Правильный ответ: 1 ((1/2) / (1/2) = 1).
3. Вася съел такую часть торта, которая в точности равна предполагаемой действительной части нетривиальных нулей дзета-функции Римана. Какую часть торта съел Вася? Ответьте числом.
Обратите внимание, что навык решения этих тестовых заданий не имеет ничего общего со знанием математических подходов к потенциальному доказательству гипотезы Римана. Опять же, вряд ли простой читатель блога сможет доказать эту гипотезу. Но на примере этих заданий мы видим, почему критикуют тестовые экзамены, в которых не требуется обосновывать правильность своего ответа (случайная ошибка в счёте, кстати, может привести к фатальным последствиям при решении подобных тестовых заданий). Эти задания по сути являются тестовыми, хотя читателю и не предлагается выбрать один вариант ответа. Викторина «Восклицание» - это викторина в тестовом формате.
Настало время проверить знания...
4. Предполагаемую действительную часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана вычли из неё самой. На сколько получившееся число меньше, чем результат умножения предполагаемой действительной части нетривиальных нулей дзета-функции Римана на 2? Ответьте числом.
Решение. Задача проверяет знание формулировки гипотезы Римана, а также умение производить несложные арифметические действия.
Пусть ПДЧННДФР - предполагаемая действительная часть нетривиальных нулей дзета-функции Римана (ха-ха!).
1. Если ПДЧННДФР вычесть из неё самой, получится 0.
2. Если ПДЧННДФР умножить на 2, получится 1, потому что она равна 1/2.
3. 1-0=1. Правильный ответ - 1.
Идея 3. Нормальность числа «пи» (утверждение не доказано)
Существует красивое утверждение о том, что в числе «пи» заключены «все тайны мира» (точнее говоря, все последовательности чисел, а уже в них можно найти эти тайны). Оно следует из нормальности числа. К сожалению, как ни странно, нормальность числа «пи» не подтверждена (не доказана) математически.
Определение. Число «пи» — это действительное число, которое получается при делении длины любой окружности на её диаметр. Обозначается греческой буквой π. Оно несколько больше, чем 3,14.
Определение. Число называется нормальным по основанию 10, если в его записи в виде десятичной дроби последовательность цифр длины n встречается с асимптотической частотой (1/10)^n.
Например, последовательности 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 встречаются в нормальном числе (в его десятичной записи) с асимптотической частотой 1/10.
Последовательности 00, 01, 02, 03, 04, 05..., 99 — с асимптотической частотой 1/100.
Последовательности 000, ...., 999 — с асимптотической частотой 1/1000 и т. д.
Если бы мы знали, что число «пи» нормальное, мы бы с уверенностью писали про тайны Вселенной. А так - увы... Существуют другие числа, которые точно нормальны, но про «пи» этого пока сказать нельзя.
Каких-то тестовых задач в формате викторины по этой теме я вам не предложу, зато предложу бонусный проверочный вопрос.
Вопрос. Верно ли, что число π нормально?
Правильный ответ можно узнать с помощью формы, если вы хотите это сделать. Также он был прямо дан в тексте.
На этом наша викторина не прощается с вами, но говорит «до свидания». Удачного дня!