График y = a * sin(b * x) + c

Для начала стоит знать, как выглядит график y = sinx

Это некая "волна", которая повторяется каждые 2π оборота (это можно заметить благодаря окружности, потому что sin (2π + x) = sinx). Уравнение графика синусоиды, которую мы будем разбирать - это

y = a * sin(b * x) + c

Есть 2 способа как ее чертить(как и любой график) - это по точкам и по коэффициентам

Для примера будем рассматривать y = 3sin2x

1 способ

Так как мы знаем, что при каждом обороте угол и его значение повторяются каждые 2π оборота, поэтому стоит рассматривать углы только до 2π. Соединяем точки, при этом откладываете π каждые 12 клеток (рисунок снизу), чтобы удобно было откладывать углы.

Получаем такой график

Таким образом, у нас получается такой график синусоиды. Можем заметить, что, по сравнению со стандартной синусоидой y = sinx, амплитуда увеличилась втрое, период уменьшился вдвое. Это нам поможет для чертежа графика по коэффициентам

2 способ: по коэффициентам

Стандартное уравнение синусоиды – это

y = a * sin(b * x) + с

Надо определить, что значит каждый коэффициент

a - отвечает за амплитуду графика, то есть насколько наш график растягивается по оси OY.

b - отвечает за период графика, то есть насколько наг график растягивается по оси OX

c - за пересечение графика с осью OY, то есть насколько наш график приподнят относительно стандартного значения.

В следующем посте можно увидеть наглядно как меняется график в зависимости от коэффициентов.

Когда определились за что отвечает каждый коэффициент можно приступить к чертежу графика.

Первым делом определяем амплитуду и период графика. Как мы уже знаем, амплитуда - коэффициент а, то есть в зависимости от a, меняется значения максимальной и минимальной точки. Рассмотрим график y = 3sin2x + 2

Зеленые точки - максимальное значение графика по y

Синие точки - минимальное значение графика по y

Для того чтобы найти максимальное значение, надо вычислить с + |a|

Для того чтобы найти минимальное значение, надо вычислить с - |a|

Для нашего графика сверху, максимальное значение будет в точке 3 + 2 = 5, минимальное значение в точке 2 - 3 = -1. Это видно по графику. Также из-за такого соотношения можно легко определять коэффициенты c и a.

Также выполняется следующее соотношение:

где Tновый - это новый период. Если что, в стандратной функции y = sinx, T = 2π, от сюда и идет это отношение.
Теперь когда мы научились определять главные компоненты построения графика синусоиды, приступим к алгоритму

1. Определяем коэффициенты
2. Отмечаем на оси точку (0, c) - это точка пересечения с OY
3. Определяем максимальное значение
4. Определяем минимальное значение
5. Определяем период
6. Вычисляем значения T/4, T/2, 3T/4, T

Дальше алгоритм делится на 2 пути

1. Если a > 0:

1. максимальная точка будет (T/4, max_значение)
2. минимальная точка будет (3T/4, min_значение)
3. также будет принадлежать точка (T/2, c)

1. Если a < 0:

1. максимальная точка будет (3T/4, max_значение)
2. минимальная точка будет (T/4, min_значение)
3. также будет принадлежать точка (T/2, c)

Может быть, не совсем понятно, что это вообще такое и как с эти работать, давайте разберем на примере y = 3sin2x + 2

1. a = 3, b = 2, c = 2
2. отмечаем точку (0, 2) - пусть это точка a
3. максимальное значение = c + |a| = 5
4. минимальное значение = c - |a| = -1
5. T = 2π/|b| = π
6. T/4 = π/4, T/2 = π/2, 3T/4 = 3π/4, T = π

Теперь так как a > 0:

1. максимальная точка будет (π/4, 5)
2. минимальная точка будет (3π/4, -1)
3. точка (π/2, 2) и точка (T, c) - это точка конца периода и начала нового

Отмечаем все точки

И так как мы знаем как выгляди стандартный график y = sinx (волна), соединяем и точки и получается волнистая линия с периодом π. Далее просто копируем наш рисунок по всей оси и у нас получилась синусоида.

Давайте разберем еще один пример

y = -2sin3x + 1

a = -2

b = 3

c = 1

max = 3

min = -1

T = 2π/3, T/4 = π/6, T/2 = π/3, 3T/4 = π/2

max_point = (π/2, 3)

min_point = (π/6, -1)

также еще (π/3, 1)

Отмечаем на графике точки и соединяем их, также не забываем, что a < 0, поэтому с начала оси OY линия пойдет вниз

Также я подготовил desmos-проект, где можно посмотреть как изменяется график и его точки при разных коэффициентах. Сделано на основе знаний, которые изложены в этой статье

https://www.desmos.com/calculator/hk9bofc7eb?lang=ru

В итоге мы разобрали как рисовать график y = a* sin(b * x) + c

Но это все равно не общий вид синусоиды, ее мы разберем в следующей общей статье.