Отель Гильберта

Основная идея

Представьте отель с бесконечным количеством номеров , занумерованных натуральными числами: 1, 2, 3, ..., ∞. Все номера заняты, но отель может всегда принять новых гостей , даже если «на первый взгляд» кажется, что места нет.

Сценарии «заселения»

1. Один новый гость

• Проблема : Все номера заняты. Как разместить ещё одного человека?
• Решение :
• Попросите каждого гостя переехать в номер с номером на 1 больше.
• Гость из №1 переходит в №2, из №2 — в №3 и т.д.
• Номер №1 освобождается для нового гостя.
• Математика : Это работает, потому что между натуральными числами N={1,2,3,...} и их подмножеством N′={2,3,4,...} можно установить взаимно однозначное соответствие. Бесконечность «не исчерпывается» удалением одного элемента.

2. Бесконечно много новых гостей

• Проблема : Приезжает бесконечная группа новых гостей, например, автобус с ∞ пассажирами.
• Решение :
• Переселите каждого текущего гостя из номера n в номер 2n (чётные числа).
• Нечётные номера (1, 3, 5, ...) станут свободными.
• Размещайте новых гостей по нечётным номерам: первый новый гость — №1, второй — №3 и т.д.
• Математика : Множество чётных чисел {2,4,6,...} имеет ту же мощность (размер), что и всё N. Это свойство счётных множеств — они могут быть равномощны своим собственным подмножествам.

3. Бесконечное количество автобусов, каждый с бесконечным числом пассажиров

• Проблема : Приезжает счётное число автобусов, в каждом — счётное число гостей.
• Решение :
• Освободите все номера, переселив текущих гостей в номера 2n (как в предыдущем случае).
• Размещайте новых гостей, используя простые числа :
• Гости из первого автобуса — в номера 3k (3, 9, 27, ...),
• из второго — 5k (5, 25, 125, ...),
• из третьего — 7k и т.д.
• Каждое простое число даёт уникальную последовательность номеров.
• Математика : Это пример перекрёстного соответствия между счётными множествами (например, N×N эквивалентен N).

Ключевые идеи

1. Счётная бесконечность :
• Множество натуральных чисел N — счётно-бесконечное .
• Любой набор объектов, который можно «пересчитать» (даже бесконечный), эквивалентен N.
2. Биекция :
• Бесконечные множества могут быть равномощны своим подмножествам. Например, N и множество чётных чисел имеют одинаковую мощность.
3. Отличие от несчётной бесконечности :
• Парадокс работает только для счётных множеств. Например, множество вещественных чисел (точки на прямой) несчётно , и такой «отель» не сможет вместить всех их.

Почему это контринтуитивно?

• В реальной жизни (с конечными множествами) невозможно «освободить место» в заполненном отеле без выселения кого-то. Но с бесконечностью правила меняются:
• Бесконечность + 1 = Бесконечность .
• Бесконечность × Бесконечность = Бесконечность (для счётных множеств).

Значение парадокса

• Образовательный инструмент : Используется для объяснения разницы между конечными и бесконечными множествами.
• Основа теории множеств : Помогает понять, как работают мощности множеств (работы Георга Кантора).
• Философский аспект : Показывает, что бесконечность — это не просто «очень большое число», а принципиально другое понятие.

Примеры в математике

• Сложение бесконечных множеств : Если добавить к N один элемент, мощность не изменится.
• Парадокс Банаха–Тарского : Связан с несчётными множествами и аксиомой выбора, но тоже демонстрирует «странности» бесконечности.

Итог

Гильбертов отель — не парадокс в строгом смысле (нет логического противоречия), а контринтуитивный результат , иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. Он помогает понять, что математическая бесконечность ведёт себя иначе, чем наш повседневный опыт с конечными величинами.