a•0≠0

Возможно ли такое с теоретической точки зрения?

Подумаем над этим вопросом. Итак, вопрос: теоретически, существует ли такое число, которое при умножении на ноль даёт ненулевое число? То есть, можно ли найти число x, такое что x * 0 ≠ 0? Интересно.

Первым делом вспомню, как работает умножение на ноль в стандартной арифметике. По всем известным правилам, любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Это аксиома или следствие из аксиом полей, например, вещественных чисел. Но, может быть, в какой-то другой системе или при других аксиомах такое возможно?

Начну с того, что попробую вывести, почему в обычных числах это невозможно. Допустим, у нас есть кольцо (алгебраическая структура с операциями сложения и умножения), и в любом кольце выполняется свойство: для любого элемента a, a * 0 = 0. Это можно доказать, используя дистрибутивность умножения относительно сложения.

Доказательство обычно такое: 0 + 0 = 0 (по определению нуля). Тогда умножим обе части на a: a*(0 + 0) = a*0. По дистрибутивности: a*0 + a*0 = a*0. Теперь вычтем a*0 из обеих частей: (a*0 + a*0) - a*0 = a*0 - a*0. Получается a*0 = 0. То есть, в любом кольце с дистрибутивностью умножения относительно сложения, умножение на ноль даёт ноль.

Значит, если мы хотим, чтобы существовало число x, для которого x*0 ≠ 0, нужно отказаться от каких-то стандартных аксиом. Например, возможно, если мы изменим аксиомы кольца, откажемся от дистрибутивности или каких-то других свойств. Но тогда возникает вопрос: будет ли такая система чисел полезной или она потеряет слишком много привычных свойств?

Может быть, есть какие-то альтернативные алгебраические структуры, где умножение на ноль не обязательно даёт ноль? Например, в некоторых неассоциативных алгебрах или других системах? Но я не уверен. Нужно подумать.

Ещё можно рассмотреть, например, обобщённые числа или расширенные системы, но обычно даже в расширениях, как комплексные числа, кватернионы и т.д., свойство умножения на ноль сохраняется. Возможно, если ввести специальные элементы или определить операции нестандартным образом?

Предположим, мы пытаемся определить новое число, назовём его ∞ (бесконечность), и попробуем определить, что ∞ * 0 = 1. Но тогда возникает множество проблем. Например, как будет работать дистрибутивность? Если ∞ * 0 = 1, то (∞ + ∞) * 0 = ∞*0 + ∞*0 = 1 + 1 = 2. Но с другой стороны, (∞ + ∞) * 0 = ∞ * 0 = 1. Получаем противоречие: 1 = 2. Значит, такая система будет несовместной, если сохранять дистрибутивность.

Поэтому, возможно, чтобы избежать противоречий, нужно отказаться от дистрибутивности или других аксиом. Но тогда это будет уже очень странная система, возможно, не имеющая практической ценности.

Ещё можно подумать о пределах в анализе. Например, неопределённости вида 0 * ∞, которые могут стремиться к разным значениям в зависимости от конкретных функций. Но это не то же самое, что умножение конкретного числа на ноль. Это скорее о поведении функций, а не об алгебраической операции.

Также можно вспомнить о мультипликативных обратных элементах. Обычно, обратный элемент к a — это такой элемент a⁻¹, что a * a⁻¹ = 1. Но ноль не имеет обратного элемента, потому что 0 * x = 0 ≠ 1 для любого x. То есть, в стандартных полях обратного элемента для нуля нет. Но если попытаться ввести такой элемент, то опять получим противоречия с аксиомами.

Например, если предположить, что существует элемент ∞, такой что 0 * ∞ = 1, то тогда, как и раньше, будут проблемы с дистрибутивностью. Или, возможно, другие аксиомы будут нарушаться.

акже можно рассмотреть структуры без аддитивной группы, но тогда теряется смысл самого нуля как нейтрального элемента сложения. То есть, если нет сложения, то умножение на ноль не имеет смысла, потому что нуля нет.

Возможно, есть какие-то экзотические структуры, где определены только умножение и ноль, но без сложения? Но тогда это будет не числовая система в обычном понимании.

Итак, подводя итог: если мы хотим сохранить стандартные аксиомы колец или полей, то такого числа не существует. Чтобы такое существовало, нужно отказаться от некоторых аксиом, но тогда полученная система будет иметь внутренние противоречия или будет слишком непривычной и, возможно, неприменимой.

Но вопрос был о теоретической возможности. То есть, формально, можно ли построить такую алгебраическую структуру, где есть "число" x, что x * 0 ≠ 0? Да, если изменить аксиомы. Например, определим операцию умножения так, что 0 * 0 = 0, а для всех других элементов 0 * x = c, где c ≠ 0. Но тогда нужно проверить, чтобы остальные аксиомы не нарушались. Однако, вероятно, это приведёт к противоречиям, если есть, например, ассоциативность или дистрибутивность.

Например, пусть есть элемент x такой, что x * 0 = 1. Тогда рассмотрим (x * 0) * 0 = 1 * 0 = 0. С другой стороны, x * (0 * 0) = x * 0 = 1. Получаем 0 = 1, что противоречие. Значит, ассоциативность нарушается. Если же мы не требуем ассоциативности, то, возможно, можно, но такая система будет очень слабой.

В общем, если отказаться от достаточного количества аксиом, то можно формально определить такую структуру, но она будет терять связь с привычными числами и свойствами, и практическая польза от неё сомнительна.

Таким образом, ответ зависит от контекста. В стандартной арифметике и алгебре таких чисел нет. В некоторых нестандартных системах, возможно, можно формально определить, но они будут иметь серьёзные ограничения и противоречия, если сохранять основные аксиомы.

Может быть, есть ещё подходы? Например, в теории категорий или других областях? Не уверен. Возможно, в моделях с другими логическими основами? Но это уже слишком абстрактно.

В итоге, теоретически, если полностью пересмотреть основания математики, возможно, можно придумать что-то, но в рамках классических аксиом — нет.

Поэтому стандартный ответ: нет, такого числа не существует в обычных числовых системах, и создание такой системы потребовало бы отказа от фундаментальных аксиом, что делает её непрактичной.