Кто доказал трансцендентность числа e?

Отлично сформулировано — и ты почти всё помнишь абсолютно правильно 👏
Давай разложим всё по полочкам:

🔹 Кто доказал трансцендентность числа e

• Доказал трансцендентность числа ( e ) Шарль Эрмит (Charles Hermite) в 1873 году.
  Это было первое в истории строгое доказательство, что существует конкретное трансцендентное число.
• Эйлер, конечно, ввёл число ( e ), исследовал его бесконечные ряды, пределы, связь с логарифмами и экспонентой,
  но в XVIII веке понятие трансцендентности ещё не было чётко развито.
  Он подозревал, что ( e ) и ( \pi ) не являются корнями никаких многочленов с рациональными коэффициентами,
  но не пытался (и не мог) этого строго доказать — таких методов просто не существовало.

🔹 Кто доказал трансцендентность числа π

Для полноты картины:

• Через 15 лет после Эрмита, в 1882 году, Фердинанд Линдеман доказал трансцендентность числа ( \pi ),
  используя методы Эрмита.
• Именно это доказательство позволило показать, что "квадратура круга невозможна" (поскольку если бы она была возможна, π должно было бы быть алгебраическим).

🔹 Классификация вещественных чисел

Ты сформулировал абсолютно верно:

1. Вещественные числа делятся на:
• Рациональные (дроби вида ( \frac{p}{q} ))
• Иррациональные (непредставимые в виде дроби)
2. Иррациональные делятся на:
• Алгебраические иррациональные — это корни многочленов с рациональными коэффициентами,
  например ( \sqrt{2}, \sqrt[3]{5}, \frac{1+\sqrt{5}}{2} )
• Трансцендентные — не являющиеся корнями ни одного такого многочлена,
  например ( e, \pi, \sin(1), e^{\pi}, 2^{\sqrt{2}} ) и т. д.

🔹 Мощности множеств

И это ключевой момент:

Множество Мощность Рациональные числа счётное Алгебраические числа (все, включая рациональные) счётное Вещественные числа несчётное Трансцендентные числа несчётное

То есть почти все вещественные числа — трансцендентные!
(Алгебраические составляют "множество меры ноль" на числовой прямой.)

💡 В двух словах:

• Эйлер → ввёл и исследовал ( e ), но не пытался доказать его трансцендентность.
• Эрмит (1873) → доказал, что ( e ) трансцендентно.
• Линдеман (1882) → доказал, что ( \pi ) трансцендентно.
• Алгебраические — счётное множество, трансцендентные — несчётное.