Сегодня, услышав слово «табулятор», вы чаще всего вспомните клавишу Tab или выравнивание текста в таблице. Но в истории вычислений табулятором называли совсем другое устройство — счётно-аналитическую машину, которая обрабатывала статистические данные, нанесённые на перфокарты.

Такой прибор занимал промежуточное место между арифмометром и компьютером. Он ещё не был электронно-вычислительной машиной в современном смысле, но уже умел делать то, что стало основой XX века: читать закодированные данные, считать, группировать, суммировать и выдавать результат.

Само слово восходит к латинскому tabula — «доска», «таблица», «запись». В этом названии хорошо слышна главная идея прибора: превратить множество отдельных записей в сводную таблицу.

От ручного счёта к машинной статистике

Во второй половине XIX века государственные переписи населения становились всё сложнее. Нужно было не просто посчитать жителей, а обработать сведения о возрасте, поле, семейном положении, профессии, месте рождения и других признаках. Каждая новая графа в переписном листе увеличивала объём вычислений.

После переписи населения США 1880 года обработка данных заняла около восьми лет. Это был тревожный сигнал: следующая перепись могла начаться раньше, чем будут полностью обработаны результаты предыдущей.

Американский инженер Герман Холлерит (Herman Hollerith, 1860–1929), работавший в Бюро переписи, предложил заменить ручные отметки машинно-читаемыми картами. Каждый человек представлялся одной перфокартой, а отдельные отверстия на ней обозначали определённые признаки: пол, возрастную группу, семейное положение, гражданство, профессию и так далее.

В 1889 году Холлерит получил патент на электромеханическую систему для обработки статистических данных. В 1890 году его машины были применены при переписи населения США и показали, что большие массивы данных можно обрабатывать уже не только руками, но и с помощью специально устроенной машины.

Как была устроена система Холлерита

Система состояла не из одного прибора, а из нескольких связанных устройств.

Сначала данные переносились с переписных листов на перфокарты. Для этого использовались перфораторы и специальные шаблоны. Оператор делал отверстия в заранее определённых местах карты. Каждая позиция имела своё значение.

Затем карта помещалась в считывающее устройство. В ранних машинах Холлерита оно напоминало пресс: карта зажималась между двумя пластинами, а металлические штифты проходили через отверстия. Если штифт попадал в отверстие, он замыкал электрическую цепь через чашечку с ртутью. Цепь замыкалась — и соответствующий счётчик делал один шаг.

Каждый счётчик отвечал за свой признак или группу признаков. Например, один мог учитывать мужчин, другой — женщин, третий — определённую возрастную группу, четвёртый — сочетание признаков.

После считывания карту перекладывали в сортировальный ящик. Машина подсказывала оператору, в какое отделение её положить. Так карточки можно было быстро разбивать на группы для дальнейших подсчётов: по возрасту, месту проживания, семейному положению, профессии и другим признакам.

Что здесь математического

На первый взгляд табулятор — это просто машина для бюрократической работы. Но в его основе лежит очень важная математическая идея: данные можно закодировать, а затем обрабатывать по заранее заданным правилам.

Каждую перфокарту можно представить как набор признаков:

a₁, a₂, a₃, ..., aₙ

Если в нужном месте карты есть отверстие, соответствующий признак считается отмеченным. Если отверстия нет, признак отсутствует. В простейшем случае это похоже на запись нулей и единиц:

• 1 — признак есть;
• 0 — признака нет.

А если нужно подсчитать, сколько карточек обладают выбранным признаком, для каждой карточки можно ввести индикатор xⱼ:

• xⱼ = 1, если признак есть;
• xⱼ = 0, если признака нет.

Тогда число карточек с этим признаком равно:

N = x₁ + x₂ + ... + xₘ

где m — общее число обработанных карточек.

Иными словами, машина суммирует отметки по множеству карточек. Так можно найти, например, сколько человек относится к некоторой категории.

Но настоящая сила табулятора проявилась не только в простом счёте, а в классификации. Машина позволяла считать не один признак, а сочетания признаков: например, людей определённого возраста, пола и семейного положения. Это уже не просто арифметика, а ранняя форма обработки структурированных данных.

В современных терминах можно сказать, что каждая перфокарта была строкой таблицы, каждое поле — столбцом, а табулятор выполнял простейшие операции группировки и подсчёта. То, что сегодня делается запросом к базе данных или сводной таблицей в Excel, тогда выполнялось электрическими контактами, механическими счётчиками и ручной работой оператора.

Табулятор и перфокарта

Перфокарта стала главным носителем данных. Её было удобно хранить, сортировать, перепроверять и повторно обрабатывать. Это важное отличие от ручной ведомости: карта представляла собой отдельную запись, которую можно перемещать независимо от других.

В патенте Холлерита особенно заметна эта идея: отдельная карточка хранит сведения об одном человеке или объекте, а расположение отверстий соответствует заранее принятой системе кодирования.

В ранней переписной системе карта была прежде всего носителем данных, а не программой в современном смысле. Позже перфокарты стали использоваться и для ввода программ, и для управления вычислительными машинами. Но первоначальный смысл был проще и одновременно глубже: сделать данные машинно-читаемыми.

Почему это было важно

Табулятор оказался одним из первых массовых инструментов автоматической обработки данных. Он не просто ускорил вычисления. Он изменил саму организацию работы с информацией.

До него большие таблицы составлялись людьми вручную. После него данные стали проходить через технологическую цепочку: сначала ручная запись, затем кодирование, потом считывание, подсчёт и сортировка, и в конце печать или сводная таблица.

В 1896 году Холлерит основал Tabulating Machine Company. В 1911 году она вошла в объединённую Computing-Tabulating-Recording Company, а в 1924 году эта компания получила название International Business Machines — IBM. Поэтому табулятор часто рассматривают как одну из важных отправных точек современной индустрии обработки данных.

В первой половине XX века табуляционные машины применялись уже не только для переписей. Их использовали в бухгалтерии, страховании, железнодорожном деле, складском учёте, статистике, научных расчётах и управлении большими организациями. Там, где появлялось много однотипных записей, возникала потребность в машине, способной быстро превращать их в итоговые таблицы.

Небольшой пример

Пусть есть 1000 карточек, каждая из которых описывает одного ученика. На карте закодированы признаки:

• пол;
• класс;
• возраст;
• успеваемость;
• участие в кружке.

Если нужно узнать, сколько учеников 7-го класса посещают математический кружок, вручную пришлось бы просматривать все карточки и считать на бумаге. Табуляционная система позволяла сначала отсортировать карточки по классу, затем по признаку участия в кружке и подсчитать количество учеников в нужной группе.

Если добавить ещё один признак — например, успеваемость выше определённого уровня, — получится уже подсчёт по нескольким условиям. Современный пользователь сказал бы: «это же фильтр и сводная таблица в Excel!» А для конца XIX века это была серьёзная механизация статистических расчётов.

Тёмная сторона машинного учёта

У истории табулятора есть и тяжёлая сторона. Та же самая технология, которая помогала быстрее обрабатывать переписи, бухгалтерские ведомости и статистические отчёты, использовалась и для контроля над людьми.

В нацистской Германии холлеритовские табуляционные машины применялись при обработке переписей 1933 и 1939 годов. Немецкая компания Dehomag (Deutsche Hollerith-Maschinen Gesellschaft), связанная с IBM, поставляла и обслуживала такие системы. Перфокарты позволяли не только считать население, но и классифицировать людей по признакам: происхождению, вероисповеданию, месту жительства, профессии и семейному положению.

В условиях тоталитарного государства такая классификация переставала быть нейтральной статистикой. Она становилась частью административного механизма выявления, изоляции и преследования людей. Особенно страшно это проявилось в отношении евреев, ромов, политических противников и других групп, объявленных режимом «нежелательными».

Историки по-разному оценивают степень ответственности IBM как американской корпорации и степень прямого контроля над действиями её немецкого подразделения во время войны. Но сам факт использования табуляционных машин и перфокарт в системе нацистского учёта хорошо показывает важную вещь: математический инструмент не существует вне общества. Он может ускорять науку, помогать управлять хозяйством и решать мирные задачи, но в руках преступного режима та же самая технология превращается в средство подавления.

Поэтому история табулятора — это не только глава из истории вычислительной техники. Это ещё и ранний урок о данных, власти и ответственности тех, кто создаёт и применяет информационные системы. В эпоху больших данных и искусственного интеллекта этот урок звучит особенно современно.

От табулятора к компьютеру

Табулятор не был компьютером в полном смысле слова. Он не хранил программу в памяти, не выполнял произвольные алгоритмы и не был универсальной вычислительной машиной. Но он сделал несколько принципиально важных шагов.

Во-первых, он отделил данные от человека-счетовода: сведения стали храниться на носителе, который могла прочитать машина.

Во-вторых, он показал, что массовые вычисления могут быть организованы как процесс: подготовка данных, обработка, контроль, сортировка и выпуск результата.

В-третьих, он связал математику, статистику, электротехнику и управление большими массивами информации.

Поэтому табулятор — это не просто музейный предок компьютера. Это инструмент, на котором хорошо видно, как из практической задачи переписи населения выросла целая культура машинной обработки данных.

Послесловие

В истории математических инструментов табулятор занимает особое место. Циркуль строит окружность, планиметр измеряет площадь, логарифмическая линейка помогает умножать и делить. Табулятор работает иначе: он считает не отдельные числа, а множество записей.

Это уже математика таблиц, признаков, частот и группировок. Та самая математика, без которой невозможны статистика, базы данных, отчёты, аналитика и большая часть современной цифровой жизни.

Но у этой истории есть и предупреждение. Если человек превращается в строку таблицы, а его судьба — в набор кодов и оценок, то техника перестаёт быть просто техникой. Табулятор напоминает, что обработка данных всегда требует не только точности, но и ответственности.

Почитать по теме

1. Гильмуллин М. Ф. История математических инструментов и их применения в обучении математике (статья, 2024).
2. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Федин Н. Г. Толковый словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — 540 с.
3. Большая Советская Энциклопедия / гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1970–1978.
4. Hollerith H. The Electrical Tabulating Machine // Journal of the Royal Statistical Society. — 1894. — Vol. 57, Issue 4. — P. 678–682.
5. U.S. Census Bureau. The Hollerith Machine.
6. Smithsonian National Museum of American History. Hollerith Tabulating Machine.
7. Library of Congress. Plate, punch card, and instructions for Herman Hollerith's Electric Sorting and Tabulating Machine, ca. 1895.
8. Computer History Museum. Making Sense of the Census: Hollerith’s Punched Card Solution.
9. United States Holocaust Memorial Museum. Dehomag / Hollerith punch-card system.
10. Black E. IBM and the Holocaust: The Strategic Alliance between Nazi Germany and America's Most Powerful Corporation. — New York: Crown Publishers, 2001.
11. Significance Magazine / Royal Statistical Society. Punch cards, concentration camps and René Carmille.

📚 Математика с Мансур-абый

Значительная часть классической математической литературы на санскрите была написана в стихах. Для современного читателя это может показаться странным: обычно математика ассоциируется с таблицами, символами, формулами, чертежами, а не со стихотворным размером. Но в средневековой Индии стихотворная форма была привычным способом сохранять и передавать научное знание.

Правило должно было быть достаточно коротким, чтобы его можно было выучить, и достаточно точным, чтобы по нему можно было считать на практике. Затем к нему добавлялись комментарии, примеры и объяснение учителя. Поэтому санскритский математический текст часто устроен не как современный учебник, а как сочетание краткого правила, устного разбора и задач.

Одним из самых ярких мастеров этой традиции был Бхаскара II, или Бхаскарачарья, — индийский математик и астроном XII века. Его главный труд «Сиддханта-широмани» («Венец учения») обычно датируют около 1150 года. В него входили четыре части, из которых две особенно важны для истории математики: «Лилавати», посвящённая арифметике, и «Биджаганита», посвящённая алгебре.

Для Бхаскары арифметика и алгебра не были двумя разобщёнными дисциплинами. Britannica (Encyclopædia Britannica — это старейшая и одна из наиболее авторитетных универсальных энциклопедий на английском языке, издающаяся с 1768 года) приводит его мысль о том, что всё вычисление пронизано «правилом трёх», то есть пропорцией. Это не просто красивая метафора. Она хорошо показывает стиль индийской математической традиции: вместо построения формальной теории с аксиомами и доказательствами автор часто выделял базовую вычислительную идею, из которой вырастали десятки задач — торговых, геометрических и астрономических.

Сами задачи в «Лилавати» и «Биджаганите» звучат не как сухие инструкции из современного задачника. Они обращены к собеседнику: «скажи быстро», «о математик», «разумный счётчик», «прекрасная». Britannica отмечает, что в таких книгах задачи часто формулируются во втором лице, как будто автор разговаривает со студентом или ученицей.

Именно эта живая интонация позднее породила известную легенду: будто «Лилавати» была написана для дочери Бхаскары. По этой версии, отец хотел утешить дочь после несчастливого предсказания и создал для неё эту книгу. Но источники осторожны: это поздняя традиция, а не твёрдо установленный факт биографии. MacTutor (MacTutor History of Mathematics archive — это авторитетный онлайн-ресурс, созданный университетом Сент-Эндрюс, Шотландия) прямо пишет, что доказательств этой истории нет, и даже не вполне ясно, была ли Лилавати дочерью Бхаскары.

Хороший пример того, как математика превращается в стихотворную задачу, даёт знаменитая «задача о павлине и змее». MAA Convergence (рецензируемый онлайн-журнал Mathematical Association of America, посвящённый истории математики и её использованию в преподавании) приводит её по рукописи XVII века и указывает, что правило находится в стихе 151, а сама задача — в стихе 152.

Сюжет почти басенный. У подножия столба высотой 9 хаст находится змеиная нора. На вершине столба сидит павлин. Змея ползёт к норе с расстояния, равного утроенной высоте столба. Павлин бросается на неё по косой. Нужно сказать, на каком расстоянии от норы они встретятся. При этом предполагается, что скорость павлина и змеи одинакова.

Примечание. Хаста (санскр. hasta) — традиционная индийская мера длины, равная длине предплечья — от локтя до кончика среднего пальца. В английских переводах её часто передают как cubit — «локоть»; в таком приближении это около 45 см.

Решение. В современной записи задача решается через прямоугольный треугольник.

Пусть расстояние от норы O до точки встречи P павлина со змеёй равно x. Высота столба равна 9, а змея находится на расстоянии

SO = 3 ⋅ 9 = 27

от основания столба. Тогда змея проползает путь до точки встречи P

SP = 27 − x

Павлин летит от вершины столба A до точки встречи P по гипотенузе прямоугольного треугольника OAP с катетами 9 и x, то есть проходит путь

AP = √(81 + x²)

Так как по условию задачи скорости павлина и змеи считаются одинаковыми, пройденные ими расстояния равны:

AP = SP
√(81 + x²) = 27 − x

Возводим обе части в квадрат:

81 + x² = (27 − x)²
81 + x² = 729 − 54x + x²

Сокращаем x²:

81 = 729 − 54x
54x = 648
x = 12

Значит, встреча происходит в 12 хастах от норы.

Вот так за живой картинкой с павлином и змеёй скрывается обычное уравнение, которое сегодня решается школьными методами.

Если «Лилавати» показывает поэтическую сторону арифметики и геометрии, то «Биджаганита» уже гораздо ближе к алгебре в строгом смысле. MacTutor перечисляет её круг тем: положительные и отрицательные числа, ноль, неизвестные, сурды — то есть корни из неквадратных чисел, линейные и квадратные уравнения, уравнения с несколькими неизвестными, а также неопределённые уравнения.

В этой книге встречается важная для истории алгебры черта: Бхаскара допускает несколько решений уравнения там, где они математически возможны.

Характерный пример — задача об обезьянах, которую MacTutor пересказывает почти дословно. В русском стихотворном переводе В. Лебедева она звучит как маленькая сценка:

На две партии разбившись,
Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате
В роще весело резвилась;

Криком радостным двенадцать
Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько, ты мне скажешь,
Обезьян там было в роще?

Здесь особенно хорошо видно, как поэтическая форма создаёт математическую интригу: выражение «часть восьмая их в квадрате» нужно понять как квадрат одной восьмой части всего стада, то есть как (x / 8)².

Решение. В современной записи пусть общее число обезьян равно x. Тогда число играющих обезьян равно: (x / 8)², а оставшихся обезьян — 12.

Получаем уравнение:

x = (x / 8)² + 12

Умножаем обе части на 64:

64x = x² + 768

или

x² − 64x + 768 = 0

Вычисляем дискриминант:

D = 64² − 4 ⋅ 768 = 4096 − 3072 = 1024

Значит, √D = 32. Тогда x = (64 ± 32) / 2.

Отсюда получаются два ответа: x = 16 или x = 48.

MacTutor отдельно отмечает, что Бхаскара считал оба решения допустимыми. Этот момент важен: речь идёт уже не просто о вычислительной ловкости, а о более зрелом понимании природы квадратного уравнения.

Ещё одна любопытная черта Бхаскары — соединение вычислительной практики и образного языка. Для современного читателя стихотворная задача может казаться украшением, чем-то второстепенным по сравнению с «настоящей математикой». Но в индийской традиции это была не просто декоративная добавка, а форма упаковки знания.

Сначала запоминался стих. Затем к нему добавлялись комментарии, примеры, устное объяснение учителя. Поэтому в одной и той же книге рядом оказываются проценты, прогрессии, площади, неопределённые уравнения и почти литературные сюжеты с птицами, змеями, животными, драгоценностями и купцами.

Послесловие

Позднейшая судьба «Лилавати» тоже показательна. Это была не одна из многих забытых книг, а средневековый текст с долгой жизнью. Сохранилось множество рукописей и комментариев, а в раннее Новое время книга переводилась на персидский. Исследователи С. Р. Сарма и М. Замани подробно разбирают персидский перевод, выполненный при дворе Акбара поэтом Файзи. Значит, речь идёт не просто об удачном учебнике XII века, а о книге, которая продолжала жить в других языках, школах и интеллектуальных средах.

История Бхаскары II хороша ещё и тем, что разрушает привычное противопоставление «поэзии» и «точной науки». В санскритской математике стих не мешал вычислению — наоборот, помогал ему жить в памяти, в школах, в комментариях и в устной традиции.

Поэтому «Лилавати» и «Биджаганита» интересны не только как памятники индийской математики. Это напоминание о другой форме научной культуры, где правила можно было не только применять, но и декламировать.

📚 Математика с Мансур-абый

Геометрический орнамент в искусстве исламского мира — одна из самых красивых встреч искусства и математики. Такие узоры украшают стены мечетей, порталы мавзолеев, купола, минбары, деревянные панели, керамику и рукописи. На первый взгляд это просто изящный декор, но за ним стоит строгий порядок: симметрия, построения циркулем и линейкой, свойства многоугольников, деление окружности и повторяющиеся схемы замощения.

Геометрические узоры составляют один из трёх главных нефигуративных типов декора в исламском искусстве — наряду с каллиграфией и растительным орнаментом. Особенно известны так называемые узоры гирих (girih). Само слово girih по-персидски означает «узел». Так называют сложные переплетённые ленточные орнаменты, в которых линии переходят из одной фигуры в другую и создают впечатление непрерывного плетения.

Звёздчатые геометрические узоры в исламском искусстве известны уже с VIII века. Со временем мастера научились строить всё более сложные композиции из многоугольников, звёзд и переплетающихся полос. Особенно важным свидетельством этой традиции стал свиток Топкапы (Topkapi Scroll) — альбом геометрических чертежей и орнаментальных схем, который обычно относят к XV веку. Для историков искусства и математики он важен потому, что показывает не только готовые узоры, но и саму логику их построения.

Для темы гирих особенно важна пяти- и десятиугольная геометрия: пятиугольники, десятиугольники, пятиконечные и десятиконечные звёзды. Здесь появляется и золотое сечение.

Если сторона правильного пятиугольника равна a, то его диагональ равна

d = φa

где

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618

Именно поэтому золотое сечение естественно возникает в звёздчатых орнаментах: как только в построении появляется правильный пятиугольник, вместе с ним появляется и число φ.

Золотое сечение известно ещё из античной геометрии: у Евклида оно описывается как деление отрезка в крайнем и среднем отношении, когда весь отрезок относится к большей части так же, как большая часть — к меньшей. В эпоху Возрождения эта пропорция получила новую известность благодаря трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (De divina proportione), а обозначение φ закрепилось значительно позже — в начале XX века.

С правильным десятиугольником удобнее записать другое соотношение:

R = φa

где R — радиус описанной окружности, a — сторона десятиугольника.

Этих двух формул достаточно, чтобы показать, почему орнаменты с пяти- и десятиугольной структурой так тесно связаны с золотым сечением.

В 2007 году физик Питер Лу и математический физик Пол Стейнхардт предложили очень известную интерпретацию исламских орнаментов. По их гипотезе, примерно к 1200 году в части орнаментальной практики мог произойти переход от локальных построений к работе с набором стандартных фигур — своеобразных плиток гирих (girih tiles). Авторы выделили пять основных форм: десятиугольник, пятиугольник, вытянутый шестиугольник, ромб и так называемую «галстук-бабочку». На этих плитках можно провести внутренние линии так, чтобы при соединении соседних фигур узор продолжался без разрывов.

Именно отсюда возникла знаменитая параллель с квазипериодическим замощением (quasiperiodic tiling), в частности с замощением Пенроуза (Penrose tiling). Квазипериодический узор обладает порядком, но не повторяется периодически, как обычная плитка на полу. В физике похожая идея связана с квазикристаллами (quasicrystals) — структурами, где есть строгая упорядоченность без обычной периодичности. Такие структуры были обнаружены Даном Шехтманом, и именно за это открытие он получил Нобелевскую премию по химии 2011 года. Нобелевский комитет отдельно подчёркивал, что речь идёт о регулярности без повторения, а не о привычной периодической кристаллической решётке.

Чтобы показать, где эта гипотеза становится особенно спорной, Лу и Стейнхардт обращались не только к свитку Топкапы, но и к конкретным архитектурным памятникам. Один из главных примеров — комплекс Дарб-и Имам в Исфахане. Его основная постройка датируется 857 годом хиджры (1453 годом), а сложные мозаичные орнаменты портала стали одним из самых обсуждаемых случаев в спорах о гирих, квазипериодичности и датировке отдельных панелей.

Именно здесь нужна важная научная оговорка. После статьи Лу и Стейнхардта последовала дискуссия. Эмиль Маковицки возразил, что знаменитый узор комплекса Дарб-и Имам следует считать периодическим, а не квазипериодическим. Позднее Л. Лауверс добавил ещё одно уточнение: широко цитируемая датировка 1453 года относится к основной постройке комплекса, тогда как именно спорную панель он предлагал относить к более позднему времени — к 1715–1717 годам. Поэтому корректнее говорить так: некоторые исламские орнаменты действительно очень близки по духу к квазипериодическим структурам, но вопрос о степени этой близости, о способе построения и о датировке отдельных примеров остаётся предметом обсуждения.

Это нисколько не уменьшает достижения средневековых мастеров. Даже если оставить в стороне самые смелые интерпретации, перед нами поразительное соединение ремесленного опыта, геометрической интуиции и художественного вкуса. Мастера не пользовались современным математическим языком, но они умели видеть структуру, работать с симметрией, повторением, поворотами, разбиением фигур и сложными сетками. Их орнаменты — не «наивное украшение», а геометрическая мысль, воплощённая в камне, дереве, штукатурке и керамике.

Орнамент здесь становится особым языком. Он не просто заполняет поверхность, а организует её. В этом и состоит его сила: математическая красота рождается не из случайного набора элементов, а из порядка, меры и внутренней связи частей.

В этом смысле исламский геометрический орнамент — прекрасный пример того, как математика живёт вне учебника. Она может быть не только в формулах и чертежах, но и в архитектуре, в ритме узора, в ощущении симметрии, в повторяющемся и одновременно неуловимо меняющемся рисунке.

📚 Математика с Мансур-абый

В истории математики иногда встречаются сюжеты, похожие не на строгую теорему, а на расследование. Есть свидетельство, оно кажется удивительным. Потом его повторяют в книгах и словарях. Затем выясняется, что всё могло начаться с недоразумения, шутки или неверно понятого способа счёта.

Один из таких сюжетов связан с маори — коренным полинезийским народом Аотеароа, Новой Зеландии. В XIX веке в европейской литературе появилась странная мысль: будто бы маори когда-то считали не десятками, а одиннадцатками.

На первый взгляд это звучит почти невероятно. Десятичный счёт кажется самым привычным: десять пальцев, десять единиц в десятке, затем сотни и тысячи. Но история науки показывает, что «естественное» для одного наблюдателя не всегда является единственно возможным.

В 1822–1825 годах французский корвет La Coquille совершил кругосветное плавание под командованием Луи-Исидора Дюперре. В апреле 1824 года экспедиция находилась в районе залива Бей-оф-Айлендс в Новой Зеландии. Среди участников были врач и натуралист Рене-Примевер Лессон и молодой морской офицер Жюль Поре де Блоссевиль.

Позднее с их именами стали связывать необычное сообщение: якобы арифметика маори была основана на числе 11. В пересказах появлялись числовые формы, будто бы соответствующие 11, 121 и 1331, то есть степеням одиннадцати.

Для части европейских авторов это было настолько странно, что история начала жить своей жизнью. Она переходила из одного труда в другой, попадала в обзоры и обсуждения числовых систем, и выглядела как редкий пример «одиннадцатеричной» системы счисления.

Но здесь и начинается настоящая историко-математическая интрига.

Ранние грамматики и словари языка маори не подтверждают существования одиннадцатеричного основания. Уже в грамматике Томаса Кендалла и Сэмюэла Ли 1820 года числительные описываются в обычной десятичной логике: десять, двадцать, сто, тысяча. Но там же специально отмечено, что маори могли считать не только отдельные предметы, но и пары.

Это важная деталь. Если человек считает пары, то десять счётных единиц могут означать двадцать физических предметов. Для внешнего наблюдателя, особенно плохо владеющего языком и контекстом, такой счёт легко выглядит «необычной» системой, хотя логика внутри него остаётся вполне стройной.

В словаре Уильяма Уильямса 1844 года встречается ещё более показательное место. Там прямо говорится о «счёте одиннадцатками», но рядом даётся пояснение: возможно, речь идёт о том, что один предмет из каждой десятки откладывался как отметка. То есть уже в XIX веке более внимательный автор видел: перед нами не обязательно основание 11, а особый способ группировки и фиксации счёта.

Что же могло происходить на практике?

Современная исследовательница Каренли Оверманн предложила рассматривать этот случай не как доказательство «основания 11», а как след сложной устной и предметной техники счёта. Один из возможных механизмов выглядел так: при счёте предметов один предмет из каждой десятки откладывался в сторону как метка завершённой группы. Потом такие метки сами могли быть пересчитаны и образовать следующий уровень учёта.

Это уже похоже на счётное устройство, только без доски, косточек и письменной записи. Предметы на время становятся разрядами. Одни лежат в основной группе, другие — в стороне и обозначают завершённые десятки или более крупные группы. После окончания счёта вся эта временная структура могла быть разобрана.

Поэтому Оверманн называет такую систему «эфемерным абаком» (англ. ephemeral abacus) — временным счётным устройством, которое существует только пока идёт счёт.

Здесь особенно важно не попасть в ловушку привычного взгляда. Математика не всегда начинается с записи формул. Иногда она живёт в движении рук, в порядке раскладывания предметов, в практической арифметике, в словах языка, в правилах обмена, земледелия, строительства и морской навигации.

Если такой счёт наблюдает человек со стороны, он может записать только то, что понял, основываясь на своих культурных привычках. А понял он не всегда то, что происходило на самом деле.

В случае маори к этому добавлялась ещё одна особенность — счёт парами. В полинезийских языках такие способы счёта были хорошо известны: считаться могли не только единичные предметы, но и пары, связки, группы. Поэтому один и тот же набор физических объектов мог получать разные числовые выражения в зависимости от того, что именно считалось: отдельные предметы, пары или группы.

Современные словари языка маори показывают обычную форму для числа 11: tekau mā tahi — «одиннадцать». Слово tekau означает десять; ngahuru также может употребляться в значении «десять». Это ещё раз показывает, что версия «маори считали по основанию 11» не выдерживает проверки даже на уровне базовых числительных.

Но ценность этой истории не в том, чтобы поймать старых авторов на ошибке. Гораздо интереснее другое.

Перед нами пример того, как историки математики работают с хрупкими свидетельствами. Есть отчёт путешественника, есть словарь, есть грамматика, есть устные практики, есть языковые формы. Всё это нужно сопоставить. И только тогда странный курьёз превращается в серьёзный разговор о том, как в разных культурах организовался счёт.

Математика маори не становится менее интересной оттого, что «счёт одиннадцатками» оказался сомнительным. Наоборот, за внешней странностью обнаруживается более тонкая вещь: умение считать большими группами без письменной записи, использовать предметы как временные разряды, переходить от единичного счёта к парному и групповому.

Иногда история математики учит не новым формулам, а осторожности. Чужую математическую культуру нельзя воспринимать только через привычную школьную таблицу. В ней могут быть свои единицы, свои способы группировки, свои устные алгоритмы и свои «счётные машины», которые не похожи на наши машины.

Числа — это не только цифры на бумаге. Это ещё и способ договориться с миром: пересчитать урожай, разделить вещи, запомнить количество, передать знание другому человеку. История с «одиннадцатками» напоминает: иногда самая интересная математика начинается там, где исследователь сначала думает: «Этого не может быть!»

📚 Математика с Мансур-абый

Иногда вся история математики помещается на куске глины размером с ладонь. Именно такова табличка YBC 7289 из Йельской вавилонской коллекции. Это старовавилонская табличка с математическими записями, датируемая примерно 1900–1600 гг. до н. э.

В цифровом каталоге клинописных текстов CDLI табличка отнесена к математическим текстам, связанным с вычислением длины диагонали, а сайт Йельской коллекции прямо называет её школьной табличкой с приближением к √2. Журнал по истории математики и преподаванию MAA Convergence тоже пишет, что перед нами, по-видимому, учебное упражнение начинающего писца. MacTutor — университетский архив по истории математики — прямо обсуждает YBC 7289 в контексте вавилонской геометрии.

На лицевой стороне изображён квадрат с проведёнными диагоналями. На одной из сторон стоит число 30, а вдоль диагонали записаны два шестидесятеричных числа: 1;24,51,10 и 42;25,35. Сегодня их обычно читают так: первое — это коэффициент диагонали квадрата, то есть приближение к √2, а второе — длина диагонали квадрата со стороной 30. Именно так обычно интерпретируют записи на табличке CDLI, MacTutor и MAA.

Чтобы оценить красоту этой таблички, нужно вспомнить, как работала вавилонская система счисления. Многие знают, что она была шестидесятеричной, то есть основанной на числе 60. В современной транскрипции запись 1;24,51,10 означает

1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³

Если перевести это в десятичную систему, получится примерно 1,4142129629, тогда как √2 ≈ 1,4142135623. Разность между этими числами составляет всего около −5,99 × 10⁻⁷. Для столь ранней эпохи это действительно поразительная точность.

Математический смысл записи очень прозрачен. Если сторона квадрата равна a, то его диагональ равна d = a√2. На табличке сторона подписана как 30, а потому диагональ должна быть равна 30√2.

Если вместо точного √2 взять вавилонское приближение 1;24,51,10, получим

30 × 1;24,51,10 = 42;25,35

В десятичной записи это 42,426388888..., то есть то самое число, которое и стоит на диагонали таблички. Значит, перед нами не случайный набор знаков, а ясная математическая запись к геометрической задаче: вот квадрат, вот его сторона, вот коэффициент диагонали, вот сама диагональ.

Для истории математики здесь особенно важно вот что: вавилоняне, по-видимому, использовали таблицы заранее вычисленных коэффициентов. В статье Дэвида Фаулера (David Fowler) и Элеонор Робсон (Eleanor Robson) показано, что число 1;24,51,10 не было случайной находкой на одной-единственной табличке. Оно встречается и в списке коэффициентов YBC 7243, где записано: «1;24,51,10 — диагональ квадрата». Это сильный аргумент в пользу того, что YBC 7289 — школьное упражнение, в котором ученик использовал уже известный справочный коэффициент. И всё это — четыре тысячи лет назад!

Какой могла быть учебная задача для древневавилонского ученика?

Пусть вавилонский писец знает, что сторона квадрата равна 30, а коэффициент диагонали равен 1;24,51,10. Требуется найти длину диагонали.

Решение простое:

d = 30 × 1;24,51,10

Если перевести коэффициент в десятичную запись, получаем:

d ≈ 30 × 1,4142129629 = 42,426388888...

Это и есть число 42;25,35. Иными словами, нижняя запись в табличке на диагонали квадрата — это просто результат умножения стороны квадрата на коэффициент диагонали.

Почему это число связано именно с √2? Потому что для квадрата со стороной a по теореме Пифагора

d² = a² + a² = 2a²

а значит, d = a√2.

Если взять a = 1, то коэффициент диагонали и есть √2. Поэтому запись 1;24,51,10 на табличке можно читать как вавилонское приближение к √2. MacTutor прямо обсуждает YBC 7289 именно в контексте вавилонской геометрии и правила вычисления для диагонали квадрата.

Есть и ещё один красивый момент. Исследователи Д. Фаулер и Е. Робсон показывают, что число 1;24,51,10 — это лучшая четырёхразрядная шестидесятеричная аппроксимация √2. В их статье приведены примеры квадратов соседних чисел, и видно, что именно 1;24,51,10 даёт наиболее близкое попадание. Авторы обсуждают и более грубое приближение 1;25, которое встречается в других старовавилонских текстах, и возможные процедуры его уточнения. Но важно не приписывать древним писцам того, чего источники не позволяют утверждать наверняка. В более поздней статье Дэвид Бакл (David Buckle) прямо подчёркивает: можно предлагать правдоподобные реконструкции на основе известных вавилонских методов, но готового и однозначного правила вычисления этого приближения у нас нет.

Поэтому честнее говорить так: табличка показывает, что вавилоняне пользовались очень точным значением √2, но способ его получения остаётся предметом исследования. И это, пожалуй, только усиливает интерес к сюжету. Не все древние знания дошли до нас как готовые инструкции. Иногда у нас есть блестящий результат, но мы не знаем процесс вычисления.

На обороте YBC 7289, по данным CDLI, возможно, был ещё один стёртый или недописанный пример, связанный с прямоугольным треугольником. Это хорошо согласуется с общей картиной: старовавилонские таблички часто были не «монументами науки», а рабочими или учебными документами. И MAA, и Д. Фаулер с Е. Робсон подчёркивают именно этот контекст: существовали школа писцов, упражнения, коэффициентные списки, геометрические задачи. То есть перед нами не одинокое чудо, а часть большой вычислительной культуры.

Есть и ещё одна тонкость, которую полезно иметь в виду. Вавилонская запись сама по себе не показывала, где именно следует мысленно ставить шестидесятеричную «точку». Поэтому некоторые исследователи обсуждали и альтернативные чтения чисел на табличке — например, как взаимно обратных величин. Д. Фаулер и Е. Робсон упоминают такую возможность. Но вариант с обычным прочтением — «диагональ квадрата со стороной 30» — считается наиболее естественным. Для истории это важно: да, различные интерпретации существуют, но главный смысл таблички от этого не исчезает.

Послесловие

YBC 7289 — хороший пример того, как древняя математика вдруг оказывается очень современной по духу. Маленькая школьная табличка, несколько клинописных знаков, квадрат с диагоналями — и перед нами уже не просто заметки писца, а точное численное приближение к иррациональной величине.

История с табличкой важна ещё и потому, что показывает: задолго до греческой, арабской и классической европейской математики, задолго до привычной школьной символики люди уже умели работать с числовыми отношениями на очень высоком уровне. Вот так история √2 началась не с доски и мела, а с влажной глины.

📚 Математика с Мансур-абый

Когда в школе вспоминают об измерении Земли, обычно называют Эратосфена. Но в XI веке другой великий учёный — Абу Райхан аль-Бируни — предложил иной путь. Он не стал измерять длинную дугу меридиана между двумя городами. Он показал, что в некоторых условиях достаточно одной горы, нескольких углов и умелого применения тригонометрии. Именно этим его метод и запоминается: геодезическая задача сводится к ясной геометрической схеме.

Аль-Бируни родился в 973 году в Хорезме и стал одним из крупнейших учёных исламского мира. Он занимался астрономией, математикой, географией, хронологией, историей и естествознанием. Britannica — авторитетная англоязычная энциклопедия — называет его одним из самых оригинальных полиматов средневекового Востока, а MacTutor — архив по истории математики Сент-Эндрюсского университета — отдельно отмечает его вклад в геодезию и триангуляцию. Трактат Taḥdīd nihāyāt al-amākin li-taṣḥīḥ masāfāt al-masākin — обычно его сокращённо называют просто «Тахдид» — считается главным трудом аль-Бируни по математической географии.

Аль-Бируни был не только астрономом и математиком, но и выдающимся географом. Его интересовали координаты городов, размеры Земли, способы измерения расстояний и вообще связь между наблюдением, картой и числом. Не случайно с его именем связывают и карту распределения суши и моря: для него география была не описанием чудес света, а точной наукой о пространстве Земли.

До аль-Бируни размер Земли обычно пытались определить через измерение дуги: нужно было узнать, какому расстоянию на поверхности соответствует изменение широты на один градус. Так шёл Эратосфен, так действовали и арабские геодезисты эпохи аль-Мамуна. Метод работал, но требовал большой полевой работы: длинных измерений на местности, аккуратной прокладки направления и надёжной оценки расстояний. На этом фоне идея аль-Бируни выглядела иначе: вместо длинной дуги — одна отдельно стоящая гора и наблюдение горизонта с её вершины. Britannica прямо противопоставляет этот путь более ранним измерениям дуги меридиана.

С аль-Бируни традиционно связывают крепость Нандана в нынешнем Пакистане. В материалах UNESCO именно Нандана названа местом, где он вычислил радиус и окружность Земли в 1018 году. Эта локация давно вошла в научную и популярную литературу, хотя детали его наблюдений обсуждаются и сегодня. Для нас важнее другое: сам метод действительно описан у аль-Бируни и стал классическим примером средневековой геодезии.

Метод аль-Бируни

Суть метода удобно разделить на два шага.

Сначала нужно определить высоту горы. Для этого измеряются углы возвышения вершины из двух точек на равнине, лежащих на одной прямой с горой. Если расстояние между точками равно d, а углы возвышения равны α и β, то в современной записи высота h выражается так:

h = d·tg α·tg β / (tg α − tg β)

Это уже само по себе хорошая задача по школьной тригонометрии. Современные разборы метода подчёркивают, что аль-Бируни сначала находил высоту горы, а затем переходил ко второму, главному этапу.

Дальше он поднимался на вершину и измерял угол падения горизонта. Если смотреть с вершины на видимый горизонт, линия горизонта окажется чуть ниже идеальной горизонтали в точке наблюдения. Обозначим этот малый угол через δ. Тогда из прямоугольного треугольника «центр Земли — вершина горы — точка касания луча зрения с поверхностью» получается соотношение:

cos δ = R / (R + h)

где R — радиус Земли.

Отсюда

R = h·cos δ / (1 − cos δ)

Вот теперь хорошо видна вся сила замысла аль-Бируни. Огромный радиус планеты выражается через высоту одной горы и очень маленький угол. Историки науки и картографии описывают именно такую геометрию метода.

Для таких наблюдений в средневековой астрономии и геодезии использовали угломерные инструменты, прежде всего астролябии и их разновидности. Об этом мы уже писали в нашей статье «Астролябия».

Для читателя здесь есть простая математическая мысль. Угол δ очень мал — всего несколько минут дуги. Поэтому в знаменателе стоит число, близкое к нулю, и именно из-за этого радиус получается огромным. Используя теорию приближённых вычислений, при δ ⟶ 0 можно считать так:

1 − cos δ ≈ δ² / 2

А cos δ при δ ⟶ 0 стремится к 1.

Тогда

R ≈ 2h / δ²

если δ измеряется в радианах.

Чтобы формулы не оставались отвлечёнными, полезно проделать небольшие вычисления. Если взять высоту горы h ≈ 313 м, а угол падения горизонта δ = 34′, то формула выше даёт радиус порядка 6,4 × 10⁶ м, то есть около 6400 км. Это уже очень близко к реальному масштабу Земли. Именно поэтому результат аль-Бируни так часто приводят как один из самых ярких примеров точности средневековой науки. Но современные авторы напоминают: здесь многое зависит от реконструкции исходных единиц измерения и от того, учитывать ли атмосферную рефракцию.

Традиционно результат аль-Бируни переводят как величину порядка 6339,6 км. Именно это число приводит MacTutor, добавляя, что подобной точности в Европе не получили вплоть до XVI века. Но с этим числом лучше обращаться осторожно. Современные исследователи указывают по меньшей мере на две трудности. Во-первых, средневековые меры длины не переводятся в современные километры совершенно однозначно. Во-вторых, аль-Бируни, по-видимому, не вводил поправку на атмосферную рефракцию, а при столь малом угле она уже заметна. Поэтому честнее говорить так: его метод был блестящим, а знаменитая «почти идеальная точность» зависит от того, как именно восстановить условия расчёта.

Небольшая задача по мотивам аль-Бируни

В двух точках на одной прямой по направлению к горе стоят наблюдатели. Расстояние между ними равно d = 1000 м, а углы возвышения вершины, наблюдаемые из этих точек, равны 35° и 25° соответственно. Чему равна высота горы?

Решение. Можно опираться на схему с горой и Землёй, выше в статье. Высота горы выражается так:

h = 1000·tg 35°·tg 25° / (tg 35° − tg 25°)

Вычисляя, получаем примерно:

h ≈ 1396 м

Это, конечно, не историческое измерение аль-Бируни, а просто современный учебный пример по его схеме. Но он хорошо показывает, что вся конструкция опирается на вполне доступную школьную тригонометрию.

Послесловие

История науки особенно интересна там, где за красивой формулой стоит ясная мысль. Аль-Бируни важен не только тем, что получил удачное число для радиуса Земли. Гораздо важнее сам ход его рассуждений: вместо тяжёлых и утомительных измерений на местности — угловые наблюдения и тригонометрия. Для XI века это был очень сильный шаг. Измерить Землю не пешком по равнине, а взглядом с вершины горы — в этом есть и строгость, и редкая простота, и настоящая инженерная культура мысли.

📚 Математика с Мансур-абый

В математике медиантой двух дробей a/b и c/d называется новая дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей исходных дробей:

a/b ⊕ c/d = (a + c) / (b + d)

Конечно, дроби в обычной арифметике так не складывают. Именно поэтому такую операцию в шутку иногда называют «суммой первокурсника» (обозначим её символом ⊕). Но любопытно, что эта мнимая ошибка вовсе не бессмысленна. В ряде задач она оказывается вполне естественным и полезным вычислительным приёмом.

Само слово «медианта» происходит от французского médiante и буквально означает нечто срединное, промежуточное.

Понятие медианты двух дробей было введено А. Я. Хинчиным в теории цепных дробей. Оно понадобилось для более ясного понимания взаимного расположения дробей и алгоритма построения промежуточных дробей наряду с подходящими дробями.

Александр Яковлевич Хинчин (1894–1959) — выдающийся советский математик, один из основоположников советской школы теории вероятностей. Но его имя связано не только с вероятностью: он много сделал и для теории чисел, и для теории цепных дробей.

У медианты есть замечательное свойство. Если две дроби имеют положительные знаменатели и одна меньше другой, то медианта оказывается строго между ними.

Если a/b < c/d, то a/b < (a + c) / (b + d) < c/d.

Это простое, но красивое свойство легко доказывается алгебраически и уже само по себе объясняет, почему медианта играет такую важную роль в построении промежуточных дробей.

Любопытно, что к медианте с другой стороны подошёл и Морис Клайн, американский математик и историк математики. В книге «Математика. Утрата определённости» он фактически заново обращает внимание на эту операцию, предлагая своеобразную «новую арифметику» дробей на практических примерах.

Морис Клайн (1908–1992) — американский математик, известный своими работами по истории и философии математики, математическому образованию и научно-популярной литературе. Много лет он был профессором Нью-Йоркского университета.

В книге Клайн пишет:

«Для описания многих физических ситуаций неприменимы не только свойства целых чисел — на практике нередко приходится прибегать к совсем иной арифметике дробных чисел».

Один из самых понятных примеров связан с футболом. Если в одной игре игрок трижды пробил по воротам и забил дважды, его результативность равна 2/3. Если во второй игре он забил 3 мяча после 4 ударов, результативность равна 3/4.

Средняя результативность за две игры считается не как сумма дробей по школьному правилу, а как отношение общего числа голов к общему числу ударов, то есть медианты дробей:

2/3 ⊕ 3/4 = (2 + 3) / (3 + 4) = 5/7

Здесь всё совершенно естественно и логично: складываются не дроби сами по себе, а реальные величины, стоящие за ними, то есть голы и удары. Поэтому результат 5/7 в таком контексте осмыслен, а вот 17/12, полученное обычным сложением дробей 2/3 и 3/4, никакого отношения к средней результативности уже не имеет.

Похожая ситуация возникает и при подсчёте средней скорости на двух участках пути. Если автомобиль прошёл расстояния S₁ и S₂ за времена t₁ и t₂, то средняя скорость на всём пути равна

V = S₁/t₁ ⊕ S₂/t₂ = (S₁ + S₂) / (t₁ + t₂)

то есть снова определяется по правилу медианты соответствующих дробей S₁/t₁ и S₂/t₂.

Точно так же можно рассуждать и в торговле. Если в первый день покупки сделали 3 из 5 посетителей, а во второй день — 4 из 7, то общая эффективность за два дня равна не сумме 3/5 и 4/7 в арифметическом смысле, а отношению общего числа покупок к общему числу посетителей:

(3 + 4) / (5 + 7) = 7/12

То есть и здесь работает медианта.

Ещё более наглядный пример — растворы. Если взять два раствора соли, один концентрации 10%, а другой 20%, то при смешивании нельзя получить концентрацию 30%. Итоговая концентрация обязательно окажется между исходными значениями.

Если k₁ = x₁/m₁ и k₂ = x₂/m₂ — концентрации двух растворов, где x₁ и x₂ — массы соли, а m₁ и m₂ — массы растворов, то концентрация смеси равна

k = (x₁ + x₂) / (m₁ + m₂)

Это опять медианта. Здесь буквально складываются массы растворённой соли и массы самих растворов. Поэтому итог и оказывается промежуточным.

Такой взгляд полезен педагогически. Он показывает, что «неправильная операция» иногда может стать «правильной», если поменяется сама задача. Медианта — хороший пример того, как математика учит не просто механически применять формулы, а понимать смысл вычисления.

С медиантой связан и ряд Фарея, о котором в блоге уже был отдельный материал. Если взять две дроби и затем многократно вставлять между соседними дробями их медианты, то возникает красивое семейство рациональных чисел, связанное с приближениями, порядком дробей и теорией чисел.

Наконец, слово «медианта» живёт и вне арифметики дробей. В музыке так называется одна из тональных функций в мажорно-минорной системе. А во французской кулинарной традиции médiants — это небольшие шоколадные диски с орехами и сухофруктами, конфеты буквально «на один укус».

Такова судьба одного, на первый взгляд, странного вычислительного действия. В школьной тетради оно может показаться ошибкой, но в более широком математическом и практическом контексте оказывается вполне осмысленным инструментом. И, как это нередко бывает, за маленькой формулой неожиданно открывается целый круг связей: цепные дроби, прикладные расчёты, ряды Фарея и даже музыкальная терминология.

📚 Математика с Мансур-абый

Когда мы слышим слово «письменность», то обычно представляем себе знаки на камне, папирусе или бумаге. Но в Андах существовал иной способ хранения и передачи информации: не на бумаге и не на камне, а в нитях и узлах. Кипу, или khipu, представлял собой систему шнурков, узелков, цветов и связей между ними. Для империи инков это был не экзотический сувенир, а рабочий инструмент управления огромной страной. Испанские хронисты сравнивали кипу с книгами, а современные исследователи уверенно говорят по крайней мере о хорошо разработанной числовой и учётной системе.

Само слово «кипу» на языке кечуа означает «узел». Типичный кипу состоит из главного шнурка, к которому крепятся подвесные шнурки, а к ним, в свою очередь, могут крепиться дочерние, а иногда и верхние шнуры. Материалом обычно служили хлопок или волокна ламы и альпаки. Британский музей описывает инкский кипу как предмет из методично организованных окрашенных и завязанных шнурков, где есть основной шнурок, подвески и ответвления. В музее Ларко в Лиме хранится, например, кипу с 238 подвесными шнурами разных цветов — синий, зелёный, коричневый, кремовый и белый. Уже по одному этому видно, что перед нами не просто «верёвка с узелками», а довольно сложный информационный объект.

Для истории математики самое важное здесь то, что числовая часть кипу дешифрована достаточно надёжно. Инки пользовались десятичной системой, и положение узлов на подвесном шнурке показывало разряд — единицы, десятки, сотни и так далее. NIST (National Institute of Standards and Technology, Национальный институт стандартов и технологий США) прямо пишет, что узлы на кипу отвечают правилам десятичной системы счисления и располагаются так, как если бы каждый горизонтальный уровень соответствовал очередному десятичному разряду. Аналогичные объяснения дают Britannica и Khan Academy.

Как это работало на практике? Для единиц использовались особые узлы:

• узел в форме «восьмёрки» означал 1;
• длинный узел с двумя, тремя, четырьмя и более витками означал 2, 3, 4 и так далее до 9;
• простой одинарный узел на более высоких позициях означал десятки, сотни и другие степени десяти;
• пустое место в нужном разряде означало 0.

Britannica даже приводит примеры: 437 — это четыре простых узла в ряду сотен, три простых узла в ряду десятков и длинный узел с семью витками в ряду единиц. Или 201 — это два простых узла в сотнях, пустой разряд десятков и узел-«восьмёрка» в единицах.

Попробуйте теперь сами потренироваться в распознавании чисел на небольшом примере.

Допустим, на одном подвесном шнурке мы видим:

• ближе всего к главному шнурку три простых узла;
• ниже семь простых узлов;
• внизу длинный узел с двумя витками.

Какое число записано на кипу?

Ответ: 372.

Три верхних узла дают 300, семь в среднем ряду дают 70, длинный узел с двумя витками внизу даёт 2.

Итого: 372 = 300 + 70 + 2.

Это, пожалуй, самый наглядный момент во всей истории кипу: древний шнурок внезапно начинает читаться почти как столбик в школьной тетради. Сама идея разрядности здесь ничуть не слабее, чем в привычной нам письменной записи чисел.

Дадим ещё один пример — с нулём. Если на шнурке есть два простых узла в сотнях, затем пустое место, а внизу длинный узел с четырьмя витками, то это число 204. Пустой промежуток здесь так же важен, как и узел: он показывает отсутствие десятков. Именно поэтому кипу интересно не только как этнографическая редкость, но и как полноценная позиционная система учёта.

Числа в кипу задавались не только узлами. Исследователи обращают внимание на цвет шнурков, направление закручивания нитей, способ прикрепления подвесных шнурков и даже на то, в какую сторону завязан узел — в виде S или Z. В NIST особо подчёркивают, что, помимо самих узлов, значимыми могли быть как направление скрутки, так и тип присоединения шнуров и получившиеся цветовые схемы. Иными словами, число — это только часть языка кипу.

Для чего всё это использовалось? Прежде всего — для управления хозяйством и людьми. Кипу помогали учитывать запасы в хранилищах, налоги и повинности, стада, распределение труда, и, возможно, — данные переписей.

Britannica пишет, что в эпоху инков кипу использовались на всех уровнях бюрократии: не только в Куско, но и у региональных начальников и местных вождей. А NIST напоминает, какой масштаб нужно было администрировать: миллионы людей, дороги на тысячи километров, трудовые повинности, склады и снабжение. Без эффективного учёта такая система просто не удержалась бы.

У кипу были и свои специалисты — кипукамайук (khipukamayuq), то есть «хранители» или «составители кипу». Гарвардская библиотека прямо переводит этот термин как «khipu-authority», а исторические источники показывают, что такие специалисты не только составляли записи, но и умели их бегло читать, объяснять и сверять. В одном из исследований Гэри Уртона даже обсуждается система своеобразных сверок и балансовых учётов (англ. checks and balances): по хроникам, в общинах могло быть несколько счетоводов, ведущих сопоставимые записи. Это уже очень напоминает не хаотическую память «на узелках», а продуманную административную практику.

Важно отметить, что инки не изобрели кипу с нуля. Британский музей в путеводителе по выставке о Перу пишет, что такая система была введена ещё уари и затем развита инками. Метрополитен-музей тоже отмечает, что уари подготовили почву для более поздней инкской системы управления, включая узелковую систему записи. То есть перед нами не одномоментное чудо, а длинная андская традиция, которая существовала по крайней мере с I тысячелетия н. э. и получила особенно сильное развитие в империи инков XV–XVI веков.

После испанского завоевания история кипу не оборвалась сразу. Да, множество кипу было уничтожено, а часть церковных и колониальных властей относилась к ним с подозрением. Но источники показывают и другое: кипу продолжали использовать в колониальную эпоху — в судах, в местных общинах, при спорах в имущественных и административных делах.

Исследование Хосе Карлоса де ла Пуэнте Луны о раннеколониальных Андах показывает, что кипу лежали в основе списков и «пробансас» (probanzas de méritos y servicios — официальные показания и документы о заслугах и службе для суда или властей), с помощью которых местные элиты доказывали объёмы припасов, выполненных услуг и даже людей, предоставленных испанцам между 1532 и 1554 годами. Иными словами, кипу пережили падение империи и ещё долго оставались рабочими инструментами местной правовой и хозяйственной систем.

Ещё интереснее то, что традиция узелковой записи местами дожила почти до наших дней. Книга Фрэнка Саломона The Cord Keepers посвящена перуанской деревне, где набор таких шнурковых документов сохранялся как часть общинной памяти. Сабина Хайленд в исследовании об Анчукае пишет, что в провинции Уарочири было по меньшей мере четыре сообщества, где кипу использовали вплоть до XX века, а показания эксперта Мариано Пумахулька, записанные в 1935 году, объясняют, как именно на кипу фиксировали трудовые обязанности айлью — родственных групп внутри общины. Это уже не «мёртвая археология», а почти живая традиция.

Здесь появляется ещё один важный момент. Если числовую часть кипу учёные в целом понимают, то вопрос о нечисловой информации остаётся открытым. Исследования Хайленд показывают, что у некоторых кипу особые начальные элементы — «кайте» (kayte) — могли указывать тему или жанр записи. В её статье прямо говорится, что большой кайте указывал начало чтения и одновременно обозначал предмет записи. В одном из случаев речь шла о кипу, который фиксировал ежегодные трудовые обязанности членов айлью в 1930-х годах. Существуют и работы о гибридных «кипу-алфавитных» текстах, где сопоставляются узлы и буквенные подписи.

Но отсюда нельзя сделать выводы, что все или даже большинство кипу уже прочитаны как тексты. Правильнее сказать так: числовой уровень дешифрован хорошо, а над более сложным, семантическим и, возможно, частично текстовым уровнем исследователи работают до сих пор.

Сколько же таких предметов вообще сохранилось? Точное число зависит от каталога. UNESCO сообщает, что в Гарвардской базе HDAKD есть электронные записи о 544 кипу из 88 музеев на трёх континентах. Britannica говорит, что найдено более 600 кипу. Разница объясняется отличиями в стадиях и в способах каталогизации. Но в любом случае мы имеем дело лишь с остатками некогда богатой традиции.

Именно этим кипу так завораживают. Они стоят на границе математики, бюрократии, народной памяти и текстовых посланий. Для историка математики это редкий шанс увидеть, как идея счёта, пустого разряда вместо нуля и агрегирования данных может жить не только в цифрах на бумаге, но и в узелках на верёвочках. Для историка культуры — это напоминание, что считать и записывать можно не только пером. А для наших читателей — прекрасный повод ещё раз вспомнить: история математики куда шире привычной школьной линии «Египет — Греция — Европа». Иногда она может буквально свисать красивыми разноцветными нитями.

📚 Математика с Мансур-абый

Большой Власьевский переулок, дом 11 в Москве известен тем, что именно здесь находится легендарный МЦНМО — Московский центр непрерывного математического образования. Здесь уже более 10 лет работает постоянный творческий семинар учителей математики. Его руководитель — Александр Давидович Блинков.

Заседания семинара обычно проходят два раза в месяц, по четвергам в 19:00, с октября по апрель. Встречаются и общаются учителя в тёплой, душевной атмосфере в столовой МЦНМО. Там легко почувствовать особую математическую атмосферу: даже на стенах записаны изречения великих математиков и известные теоремы и формулы.

В 2025–2026 учебном году состоялись следующие заседания, в которых посчастливилось участвовать и автору. Хочется назвать имена тех, кто представлял там свои новые идеи и наработки в сфере математического образования школьников.

161 заседание, 9 октября 2025 г.

А. Заславский, В. Конышев, С. Кузнецов, Ю. Нагуманов. Новые методы в олимпиадной геометрии

В последнее время в олимпиадной геометрии наряду с традиционными стали широко использоваться такие инструменты, как движение точек, кубические кривые, теорема Дезарга об инволюциях и др. В докладах рассказывалось об этих методах, а также был разобран ряд сложных задач, предлагавшихся на недавних олимпиадах.

162 заседание, 23 октября 2025 г.

Д. Э. Шноль. Изменение системы преподавания математики в школе без отбора учеников

Выступающий работает директором в частной школе «Oxbridge» в Ташкенте. Было рассказано об инструментах перестройки системы преподавания математики в школе: переводных экзаменах, системе контрольных работ, устных зачётах, разделении параллели на группы по уровням, обязательных математических диктантах, системе математической поддержки, обмене опытом по использованию игровых методик, отдельном курсе «Развивающая математика».

Д. Э. Шноль. Система оценивания в школе как инструмент управления изменениями в школе

Во второй части было рассказано о том, как изменение системы оценивания позволяет менять учебную культуру школы, помогает учителям правильно выстраивать программу и учиться расставлять приоритеты при планировании уроков.

163 заседание, 13 ноября 2025 г.

И. Р. Высоцкий. Вариации на тему «Задача коллекционера»

Коллекционирование — одна из древнейших страстей человечества. Уже более ста лет эта страсть используется маркетологами, которые кладут игрушки или фотографии знаменитостей в шоколадные яйца или баночки леденцов. Разумеется, математики не могли пройти мимо. Математические модели коллекционирования известны с XVII века, и многие вопросы, связанные с коллекционированием, конечно, уже решены. Но часто вполне невинное обобщение или продолжение решённой задачи оказывается до обидного сложным.

В докладе был очерчен круг наиболее естественных задач, связанных с коллекционированием. Часть из них была решена. Некоторые вполне доступны мотивированным школьникам.

Доклад был несколько глубже, чем материал статьи «Задача коллекционера» («Математика», 2022, № 9, с. 54–59).

164 заседание, 27 ноября 2025 г.

Н. М. Нетрусова. Математика для школьников в Сербии

Рассказывалось о структуре сербского школьного образования и подробно — о преподавании математики. Сравнили программу с российской, показали примеры экзаменов и олимпиад, рассказали о местных кружках, журналах и книгах. В частности, отмечалось, что геометрия там начинается уже в 5 классе.

165 заседание, 11 декабря 2025 г.

П. А. Кожевников. Числа в таблицах и линейные ограничения на суммы

Обсуждались задачи, похожие на следующую: какое наибольшее количество фишек можно расставить на доске 7×7 так, чтобы в любом квадрате 2×2 находилось не более двух фишек?

Кроме того, было рассказано об интересном приёме, придуманном 11-классником из Казани Артуром Абзалиловым при решении задачи 11.4 на Всероссийской олимпиаде 2025 г.

166 заседание, 25 декабря 2025 г.

Н. Н. Андреев. Под знаком «Кванта»

Обсудили новый сайт журнала kvant.digital, его возможности. Поговорили о том, что было сделано до открытия сайта и после него. Обсудили, какие ещё возможности были бы удобны пользователям.

167 заседание, 15 января 2026 г.

Д. А. Калинин. Турнир «Kostroma Open»: традиции и задачи

Костромской турнир математических боёв, ныне турнир «Kostroma Open», начал свою историю в январе 1996 года. Было рассказано о сложившихся за эти годы традициях и показаны красивые сюжеты задач, родившихся на последних турнирах.

168 заседание, 29 января 2026 г.

М. А. Волчкевич. Использование параллельного проектирования в геометрических задачах

Теорема Дезарга, построения короткой линейкой, отношение площадей на проекции, наибольшая площадь тени куба и призмы, эллипс как фигура сжатия окружности, форма месяца, построения на эллипсе, эллипсы Штейнера, теорема о проекции высот треугольника, прямая Гаусса.

169 заседание, 12 февраля 2026 г.

М. А. Евдокимов. Стереометрия на олимпиадах

Речь шла о разнообразных идеях и методах на примерах авторских задач по стереометрии, которые предлагались на различных олимпиадах. Обсуждалось, как эти задачи были придуманы и какие планиметрические аналоги имеют некоторые из них.

170 заседание, 26 февраля 2026 г.

П. В. Семёнов. Площадь «серединного» многоугольника

Для любого выпуклого невырожденного n-угольника M рассматривается его «серединный» n-угольник, образованный отрезками, соединяющими середины соседних сторон многоугольника M; соответственно, S и s — их площади. Обсуждались соотношения между ними.

171 заседание, 12 марта 2026 г.

Г. В. Кондаков. Как работает AI-ассистент учителя: проверка заданий, создание курсов и борьба со списыванием

Обучение математике — сфера, где инновации внедряются постоянно и особенно быстро. Эти изменения нельзя остановить, но их можно адаптировать под себя. Конкуренция в дополнительном образовании в очередной раз ужесточилась, и в этой конкуренции существенные преимущества получат репетиторы и преподаватели, которые научатся управлять новыми ИИ-инструментами.

Об опыте своей команды рассказал Григорий Кондаков, основатель ШАД, лагеря «Берендеевы Поляны», платформы «Пеликан», лёгшей в основу «Яндекс.Учебника». На семинаре были разобраны реальные кейсы использования нейросетей в обучении, показано, как AI-ассистенты учителя позволяют эффективно реализовать модель Н. Н. Константинова и как можно сделать процесс обучения более результативным с помощью ИИ.

172 заседание, 26 марта 2026 г.

А. А. Тутубалина. Как придумать олимпиадную задачу?

Что делать, если вы составляете занятие кружка, олимпиаду или вариант математического боя, а задач не хватает? Конечно же, придумывать новые.

Докладчица рассказала о своём опыте сочинения задач, поделилась идеями, советами и лайфхаками. А также показала несколько интересных сюжетов, которые придумала для «Турнира Мёбиуса», «Турнира Савина» и различных олимпиад.

173 заседание, 9 апреля 2026 г.

Е. А. Чернышёва. Математические игры как часть учебного процесса

Как использовать турнирные игры на обычном уроке и зачем? Было разобрано несколько конкретных игр, которые проводились в начальной и средней школе. Поговорили и про математические диспуты — адаптацию математических боёв, которые проводились во внеурочное время для своих школьников и в формате товарищеских встреч с другими школами.

На сайте семинара представлены видеоматериалы и презентации всех докладов: https://old.mccme.ru/nir/seminar/

📚 Математика с Мансур-абый

В истории математики есть сюжеты, которые кажутся почти невероятными. Один из них родился в Японии эпохи Эдо: там геометрические задачи не только решали в школах и книгах, но и писали на деревянных табличках, раскрашивали, а затем вывешивали в синтоистских святилищах и буддийских храмах как подношение и как вызов другим знатокам. Эти таблички назывались сангаку.

На первый взгляд сангаку напоминают обычные эма — вотивные дощечки (небольшие деревянные таблички, используемые в японской религиозной традиции), которые и сегодня можно увидеть в японских святилищах. Но вместо молитвенных просьб или изображений животных на них помещали окружности, многоугольники, эллипсы, дуги, касания и краткие надписи с условием задачи. Часто это были очень красивые композиции: математика здесь выступала не только как наука, но и как предмет созерцания.

Понять сангаку невозможно без мира васан — традиционной японской математики. В XVII–XIX веках Япония жила в условиях сравнительно ограниченных контактов с Западом, и потому местная математическая традиция развивалась в значительной мере самостоятельно. В этой среде существовали школы, учителя, ученические линии и даже своеобразное соперничество между направлениями. Математика была не только полезным знанием, но и заметной частью образованной культуры.

Почему же таблички с геометрическими чертежами вообще стали вешать в храмах? Здесь важен культурный фон. В Японии уже существовала традиция посвящать святилищам различные дары и дощечки-эма. На этом фоне математическая табличка не выглядела чем-то чужим. Скорее наоборот: решение красивой задачи могло восприниматься как достойный плод учёности, который не стыдно посвятить божеству.

Самые ранние сангаку сегодня особенно ценны. Древнейший из сохранившихся был посвящён святилищу Хосиномия в нынешнем городе Сано в 1683 году, хотя оригинал пострадал при пожаре 1975 года, и теперь там выставлена копия. Следующим по древности считается сангаку 1691 года из Ясака-дзиндзя в Киото. В 1993 году он получил статус важного культурного достояния Японии. Особенно интересно, что именно этот памятник считается древнейшим известным примером, где до нас дошёл полный состав задачи и ответа.

Сангаку были не просто храмовым украшением. Посвящение сангаку стало одной из форм публичного представления задачи или результата: табличка одновременно служила подношением и привлекала внимание к математическому мастерству школы. Поэтому на дощечки часто выносили зрелищные задачи с броскими фигурами и сложными конфигурациями. Многие из них позднее переписывались в рукописи и сборники. Особенно важны здесь книги, связанные с именами Фудзита Садасукэ и его сына: в 1789 году вышел «Shinpeki sanpo», затем в 1796 году — дополненное издание, а в 1807 году — продолжение. Позже рукопись «Saishi shinsan» зафиксировала уже 204 таблички.

Кто же создавал такие таблички? Не только узкий круг профессионалов. По надписям видно, что среди посвящающих было много образованных людей самурайского сословия, но встречались и целые группы учеников, дети, а иногда и женщины. Именно это делает традицию сангаку особенно живой: перед нами не кабинетная математика нескольких столичных авторов, а широкая культура задачи, рисунка и состязания.

При этом история сангаку до сих пор не закрыта. Сегодня известно около тысячи сохранившихся табличек, из них примерно четыреста относятся к эпохе Эдо. Многие другие известны только по книгам, рукописным копиям и поздним описаниям. Уже в XX веке японские исследователи стали составлять региональные каталоги, а современные изыскания продолжаются и сейчас. Значит, сангаку — это не только музейная экзотика, но и живая область для историко-математических исследований.

Какие задачи писали на сангаку

Чтобы сангаку не остались для нас просто красивыми дощечками с окружностями, полезно посмотреть на несколько реальных задач. Большинство таких табличек содержали только условие и ответ, а подробное решение часто отсутствовало: современники должны были додуматься сами. Ниже — три примера в современной записи.

Задача 1. Три касающиеся окружности

Две окружности радиусов r₁ и r₂ касаются одной прямой и друг друга. Третья окружность радиуса r₃ тоже касается этой прямой и обеих окружностей. Найти r₃ через r₁ и r₂.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник O₁O₂Q₁. Пусть A и B — точки касания двух внешних окружностей с прямой, тогда отрезок AB = Q₁O₂. После соответствующих преобразований, по теореме Пифагора следует

AB² = 4r₁r₂

Аналогично, рассмотрев прямоугольные треугольники O₁O₃Q₃ и O₂Q₂O₃ получаем, что если P — точка касания средней окружности с этой же прямой, то

AP = 2√(r₁r₃)
PB = 2√(r₂r₃)

значит,

AB = AP + PB = 2√(r₁r₃) + 2√(r₂r₃)

Возводим в квадрат:

(2√(r₁r₃) + 2√(r₂r₃))² = 4r₁r₂

После сокращения получаем:

√r₃(√r₁ + √r₂) = √(r₁r₂)

откуда

r₃ = r₁r₂ / (√r₁ + √r₂)²

Итак,

r₃ = r₁r₂ / (√r₁ + √r₂)²

Это очень характерная задача для сангаку: из красивого декоративного рисунка рождается короткая и запоминающаяся формула ответа.

Задача 2. Прямая делит треугольник на две равные по площади части

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C прямой, точка C′ лежит на гипотенузе AB так, что BC′ = BC. На катете BC выбирается точка P так, что отрезок C′P делит треугольник на две равные по площади части. Нужно доказать, что 2PC′ = AB, то есть PC′ равно половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим классическое рассуждение, которое приводится в современных разборах сангаку.

Опустим из точки P перпендикуляр PH на гипотенузу AB.

Площадь треугольника BPC′ равна

1/2 · BC′ · PH

а площадь всего треугольника ABC равна

1/2 · BC · AC

По условию BC′ = BC, а отрезок C′P делит треугольник на две равные по площади части, значит

1/2 · BC · PH = 1/4 · BC · AC

откуда

PH = AC / 2

Теперь рассмотрим треугольники ABC и PBH. Они прямоугольные и имеют общий угол при B, следовательно, подобны. Поэтому

PB / AB = PH / AC = 1/2

значит

PB = AB / 2

Кроме того, из того же подобия следует

BH / BC = PH / AC = 1/2

то есть

BH = BC / 2

Но BC′ = BC, следовательно, BH = BC′ / 2, а значит точка H — середина отрезка BC′. Поскольку PH ⟂ AB, точка P лежит на серединном перпендикуляре к BC′, и потому PB = PC′.

Итак,

PC′ = PB = AB / 2

то есть

2PC′ = AB

что и требовалось доказать.

Эта задача хорошо показывает, как сангаку переводятся с языка рисунка на язык строгой современной геометрии. Кроме того, сангаку хорошо ложится и на практическую земледельческую задачу: как разделить треугольный участок на два равных по площади.

Задача 3. Трапеция, разбитая на равновеликие трапеции

Эта задача с реальной таблички 1800 года. В современной формулировке она звучит так:

Трапеция имеет нижнее основание b, верхнее основание a и высоту h. Её нужно разделить на n меньших трапеций равной площади. Пусть нижнее основание самой верхней, то есть самой маленькой трапеции, равно k. Найти n через a, b и k.

Решение получается из подобия. Если ширина трапеции меняется линейно от a до b, то высота самой верхней маленькой трапеции равна

h₁ = h (k - a) / (b - a)

Её площадь:

S₁ = (a + k) / 2 · h₁ = (a + k) / 2 · h (k - a) / (b - a) = h (k² - a²) / 2(b - a)

Площадь всей трапеции:

S = (a + b) / 2 · h

Так как все маленькие трапеции равновелики, то

n = S / S₁ = ((a + b) / 2 · h) / (h (k² - a²) / 2(b - a)) = (a + b)(b - a) / (k² - a²)

Следовательно,

n = (b² - a²) / (k² - a²)

Это уже почти олимпиадная геометрия, но выросшая не из современного учебника, а из реальной храмовой таблички XIX века.

Почему эти задачи важны

По таким примерам хорошо видно, что сангаку — это не просто красивые окружности на доске. За ними стоит вполне серьёзная геометрическая культура: подобие, площади, касания, переход от рисунка к формуле, а иногда и весьма нетривиальные вычисления. Причём всё это существовало не в виде сухого трактата, а как публичная математическая практика — выставка задач под крышей храма.

Особую роль в сохранении этой традиции сыграли и странствующие математики. Один из них, Ямагути Кадзу (Кандзан), вёл путевой дневник во время своих путешествий по Японии и переписал сотни задач с сангаку, которые видел в святилищах и храмах. Благодаря таким записям можно увидеть не только сами задачи, но и связь учёных людей, школ и мест, в которых жила эта культура.

Сангаку так притягивают не потому, что в них непременно скрыты самые сложные задачи мира. Их сила в другом. Это редкий случай, когда математика одновременно становится подношением, публичной загадкой, художественным объектом и памятником локальной учёности. В Европе геометрия обычно жила в трактатах и школьных классах. В Японии эпохи Эдо она ещё и висела под крышей святилища — среди молитв, дощечек-эма и запаха дерева.

Именно поэтому сангаку до сих пор производят такое сильное впечатление: они показывают, что математическая красота может быть не только строгой, но и зримой, почти праздничной.

📚 Математика с Мансур-абый