Ганс Вредеман де Врис (1527 — 1607) был нидерландским архитектором, живописцем и гравером, теоретиком архитектуры и перспективы, искусным рисовальщиком, известным своими перспективными творениями и сочинением причудливых архитектурных орнаментов.

Его magnum opus, опубликованный в 1604 году под лаконичным названием «Перспектива», — это уникальный синтез архитектурной теории и прикладной геометрии, выраженных с помощью гравюр.

Автор использует необычную методику построения изображений:

гравюры сопровождаются детальной визуализацией конструктивных сеток, линий визирования и точек схода.

Поэтому читатель видит не только конечный художественный образ, но и скелет геометрической конструкции, лежащий в основе.

Структура трактата демонстрирует дидактический подход, характерный для математических сочинений Возрождения.

Начальные гравюры посвящены абстрактным пространственным конфигурациям — своего рода чистым геометрическим экспериментам.

По мере продвижения по тексту задачи усложняются: абстрактные формы обрастают архитектурной детализацией, превращаясь в сложные интерьеры и экстерьеры.

Примечательно, что строгая геометризация, характерная для стиля де Вриса, порождает неожиданный эстетический эффект.

Наслоение архитектурных объемов, бесконечные ряды колонн и сложные конфигурации лестниц, вписанные в жесткие геометрические сетки, создают композиции, которые современный зритель может охарактеризовать как сюрреалистические.

Возникает визуальный ряд, где математическая точность приводит к иррациональности восприятия, предвосхищая художественные поиски XX века.

В итоге, наследие де Вриса служит важной исторической вехой становления строгого научного подхода к визуализации пространства.

Две части труда де Вриса можно скачать по ссылкам:

Часть 1. 1604 год.
Часть 2. 1605 год.

Однако, в 2015 году г-н Акопян с сотоварищами путем трудоемких компьютерных расчетов нашли такое разбиение.

A. V. Akopyan, J. Crowder, H. Edelsbrunner, R. Guseinov. (2015)
Hexagonal tiling of the two-dimensional sphere.

Вот что они сделали.

Хорошо известно, что эйлерова характеристика граничного комплекса любого четномерного выпуклого многогранника равна нулю, то есть число граней четной и нечетной размерности одинаково. Это позволяет создавать симметричные структуры на многомерных сферах. Исследуя размерности от 4 до 24, мы нашли сечения решетки Лича, которые дают многослойное покрытие двумерной сферы шестиугольниками. Компьютерные расчеты нашли параметры, при которых слои точно совмещаются, образуя регулярную шестиугольную разбиение сферы — так называемую «гексасферу». В конструкции отсутствуют скрытые пятиугольники.

Вопрос к знатокам: кто же все-таки прав: теория или авторы?

Эти слова ИИ чаще всего помещает в аннотацию (линейный график) или в заголовок (столбчатый график) сгенерированной научной статьи.

captivating
delve
dive
elevate
embark
embrace
realm
reveal
tapestry
unveiling

Мораль: если за вас научную работу пишет ИИ (на английском), потрудитесь хотя бы вычистить из нее эти слова-предатели, которые с головой выдают весь ваш "весомый" вклад.

P.S. Я обеими руками за применение ИИ в науке, но только в качестве коллеги-помощника, а не основного исполнителя работы.

(См. AI will not replace you—it will assist you.)

Источник:
Ivan Reznikov. LangChain for Life Sciences and Healthcare. 2025. Chap. 1

Готов плакат про простые иллионы — обозначения больших чисел от миллиона до дециллона.

Плакат бесплатный, формата А4 (20×30 см), выполнен в черном и белом вариантах.

Плакат рассказывает о простых иллионах, объясняет, как строятся названия, сообщает что-то про sex, показывает сколько нулей в каждом начальном иллионе и конструирует имя числа из 28 цифр.

Плакат можно скачать со страницы
antonlyakh.ru/illions/

Там же можно задонатить на кофе или на следующий плакат.

Это первый плакат из марафона 12 на 12.

Плакаты будут на разную тематику: часть объяснит интересные математические (геометрические) темы, другие -- что-то еще. Полностью концепцию не продумал, пока есть только видение трех-четырех плакатов.

На подходе первый плакат, посвященный простым иллионам. На картинке показаны итерации дизайна. Сам плакат выложу позже.

Некоторые плакаты будут продаваться через Принтдирект.

Посмотрим, что выйдет из этой затеи.

Из предисловия переводчика.

Друзья, не так давно произошло неординарное событие! За 99 часов, 14 минут и 36 секунд уважаемая 温子 岩川 (Ивакава Ацуко) перевела на русский язык книгу Фройденталя о языке Линкос, предназначенном для общения с представителями иных планет!

Мне не остается ничего иного, как снять свою шляпу перед этим человеком, пожелать ему спокойствия и процитировать отрывки из его предисловия (стиль и пунктуация сохранены).

Из предисловия переводчика

Возможно, вы удивлены тому, что предисловие так называется, однако сейчас я всё проясню. На перевод, с момента заявки, ушло 99 часов 14 минут 36 секунд (это, разумеется, неточное число). Вычтем восемь часов на сон, вычтем три часа на завтраки, обеды, ужины, отвлечения. Вычтем ещё один час на принятие ванной, разглядывание узоров своей одежды и игру со своими волосами и кошкой. Итого: 12 часов каждый день. Домножаем на четыре и получаем сорок восемь часов. […] Так или иначе, я чувствую, что меня выжили, как лимон. У меня болела голова, и мне хотелось плакать, а также орать чаечкой.

Чудовище Дьедоне

Был математик в группе Никола Бурбаки, небезызвестного господина из Нанкаго, славившегося сложностью своих трудов. Дьедоне, математик из группы Бурбаки, написал ещё более сложный трактат, чем все, что были до него.

Чтобы опубликовать работу, нужно было единогласное согласие группы. Группа такого согласия не дала и сожгла этот ужасающий и сложнейший трактат, переполненный безумным количеством символов и записей.

Дьедоне в расстроенных чувствах побежал на второй этаж, в свою комнату, открыл ящик, в котором должна была лежать запасная копия трактата, но увидел лишь пепел с запиской:

Чудовищем, принадлежащим Дьедоне, называли тот самый трактат, содержащий в себе поистине ужасающие и кошмарные нагромождения символов, вгоняющие в тревогу и пучины экзистенциальной печали любого, кто осмелится его прочесть.

Чудовище Фройденталя

То же самое я хочу сказать и про этот трактат.

Я испытываю хтонический ужас только от одной мысли о том, что со мной стало бы, будь я чуть смелее и упорнее. Стоило бы мне только попытаться разобраться в этих сотворённых явно не человеческим умом полотнах математических символов, мне кажется, от меня и моего разума ничего не осталось бы.

Даже сейчас, закончив работу над этим хтоническим творением человека, явно рождённого не в этом мире, я испытываю страх и отчаяние. Я чувствую, будто я уже не я, будто моя жизнь до столкновения с этой агонической для моего ограниченного смертным опытом ума книгой была совсем иной. И теперь я с ужасом смотрю в будущее, понимая, что они очень хотели этого.

Я молю Бога о том, чтобы вы не читали этот злосчастный текст, чтобы вы выбросили его подальше и бежали без оглядки от того проклятого места, где нашли его, потому что, если вы прочтёте хотя бы одну строчку тех ужасающих символов, назад дороги не будет.

Но что самое страшное может с вами произойти, так это то, что вы будете не просто читать эти символы.

Вы вдруг осознаете, что начинаете понимать текст, написанный в книге. И тогда, вам уже ничто не поможет, потому что космический ужас, прибывший из холодных миров, удалённых от нашего на мириады километров, уже обратил на вас свой взор…

О содержании книги

А теперь, собственно, к содержанию. В этой книге автор, Ганс Фрёденталь, нидерландский учёный, рассказывает о собственноручно разработанном искусственном языке! Казалось бы, эти языки (их ещё называют конланги) разрабатывают все, кому не лень. Есть токипона, созданная Соней Ланг, есть новояз, созданный Оруэллом, есть куча языков Толкиена для его фэнтезийных книг… есть даже клингонский для инопланетян из «Звёздного пути» и лаадан, созданный Сьюзет Элджин, но язык, который создал автор отличается от них всех.

Созданный автором язык предназначен не для какой-то философской цели или протеста — Lincos предназначен для того, чтобы общаться с инопланетянами при помощи радиосигналов!

Автор разработал такую систему правил и описаний, что добился возможности описывать что-либо математическими понятиями и отношениями.

В книге много формул и записей в математической нотации. Эти записи мной вставлены, как картинки, так как не хотелось заморачиваться при их вводе в компьютер (вы вообще видели, что там автор понавытворял вообще?!). Будьте готовы к тому, что самой понятной частью книги окажется введение.

По мере сил и знаний мной оставлялись МНОГОЧИСЛЕННЫЕ примечания, касающиеся того или иного термина, в связи с этим хочу объявить

В общем думаю, что первых двух курсов информационно-технологического факультета психологического университета (не спрашивайте) должно хватить.

[...]

А теперь, зная, что лингвистика, математика и даже психология с дидактикой соединяются в этой книге, я приведу цитату одного напуганного писателя из Провиденса:

Предисловие написано Ивакава Ацуко (岩川温子) в 3:29, 5 августа 2025 года сразу после мурыжки с переводом.

Пдф с переводом книги доступен на странице Ивакава.

Никогда не читайте перед сном незнакомые математические трактаты — поберегите свою психику.

После полета первого искусственного спутника Земли, запущенного СССР в 1957 году, голландский профессор математики Ханс Фройденталь (Hans Freudenthal) понял, что мы совсем не умеем разговаривать с представителями внеземной цивилизации. Проникшись этой мыслью, он создал универсальный язык для общения с любыми разумными гуманоидными и негуманоидными существами.

Линкос был выверен и однозначен. Любую фразу этого языка можно интерпретировать только одним единственным образом. Параллельные прямые в линксое — это именно те самые прямые, которые никогда не пересекаются.

Линкос не содержит исключений из правил. В нем нет никаких "брошюр о жюри с щуками в парашютах". Если есть правило, то оно действует везде.

Линкос свободен от фонетического звучания. Там не нужно менять высоту слога, чтобы изменить его значение, как в китайском; не нужно пропускать кучу букв, чтобы правильно произнести мерси баку при виде merci beaucoup, как во французском; не нужно особым образом складывать губы и подгибать язык, чтобы просвистеть фразу, как в языке Сильбо с острова Гомера. Каждый волен читать слова линкоса так, как ему вздумается, потому что фонетики линкоса не существует, а используемые символы предназначены для кодирования и передачи информации.

То есть язык математики поймет любое мыслящее существо с руками, рогами, щупальцами, хвостами и костяными пластинами на втором подбородке. А если так, то на основе языка математики можно построить универсальный язык общения — Линкос.

Но чтобы понимать язык, ему необходимо научиться. И Фройнденталь разработал систему обучения линкосу. Он предполагал, что передаче основного сообщения должна предшествовать серия обучающих уроков, сложность которых постепенно возрастает.

Уроки линкоса Фройнденталь изложил в книге "Lincos. Design of a language for cosmic intercourse. Part 1", увидевшей свет в 1960 году. Автор предполагал выпустить и вторую часть книги, но как-то не срослось.

Книга состоит из обширного введения и четырех разделов, озаглавленных "Математика", "Время", "Поведение", "Пространство, движение, масса".

И первая глава представляет первые уроки, посвященные простым математическим понятиям: целым числам и отношениям между ними, которые, со временем, трансформируются в более сложные вещи: систему рациональных и вещественных чисел, теорию множеств и начала интегрирования.

Честно говоря воспринимать и, тем более, понимать эти записи сложно, потому что любое, вроде бы очевидное для нас понятие вводится через длинную запись достаточно абстрактных символов.

Последующие главы про время, поведение и основные физические законы еще более сложны для восприятия.

Книга получила несколько отзывов: от нейтральных, до негативных, что, видимо, и привело автора к решению не публиковать вторую часть. Однако, мне кажется, что никто из оппонентов не смог осилить сложный язык книги и полностью прочитать ее. Они ограничились всего лишь прочтением введения и выборочными отрывками, на основании которых и сделали свои отзывы.

Однако Линкос не канул в Лету.

Вторая жизнь Линкоса

В 1999 году два канадский астрофизика Иван Дyтил (Yvan Dutil) и Стефан Думас (Stephane Dumas) в рамках проекта "Космический звонок" (Cosmic call) решили отправить весточку инопланетянам. За основу для написания послания они взяли линкос.

Они проштудировали книгу Фройнденталя (что уже вызывает уважение), составили иероглифический алфавит, символы которого представляют собой бинарные матрицы, и, с его помощью, написали письмо на 23 страницах.

Для отправки сообщения они использовали советский радиотелескоп, расположенный неподалеку от Евпатории. В 1999 году послание было отправлено к четырем звездам в созвездии Лебедя и Стрела. В 2003 году они повторили посылку, но уже по другим адресам: к пяти звездам в созвездиях Кассиопея, Орион, Рак, Андромеда и Большая медведица.

По расчетам первое послание достигнет адресата в 2036 году, после чего мы будем ждать ответа.

Фройденталь, стремясь создать универсальный язык, невольно продемонстрировал, что коммуникация требует не только логической структуры, но и прагматических элементов, которые невозможно формализовать без предположения о сходстве мировоззрений отправителя и получателя. Таким образом, Линкос стал важным уроком о пределах логицизма и необходимости учета культурных и когнитивных предпосылок в языковой коммуникации.

Ссылки

Книга Фройденталя (1960)
Lincos. Design of a language for cosmic intercourse.Part I.(пдф, 10 Мб)

Обширная критическая рецензия Винценто Латронико (2008)
Communication again logical form. A critical survey of Hans Freudenthal`s LINCOS. (пдф, 0,2 Мб)

Немного подробнее о "Космическом звонке".

Подробная расшифровка обоих посланий в космос.

С точки зрения алгебры

Однако, во время работы вы нет-нет, да и отвлекались на нерешенные проблемы математики. Это, конечно же, сказалось на качестве грядок. На ваших грядках овощи оказались перемешанными: морковь росла рядом с капустой, салат неподалеку от свеклы, а репа и вовсе встречалась в крайне неожиданных местах.

В результате, перед отправкой овощей на склад, вам пришлось поштучно сортировать каждый овощ: морковку относить в ящик с морковью, капусту с капустой и так далее. Уже у складских ящиков вы отбраковывали гнилые овощи. В результате склад оказался наполнен ящиками с отсортированными качественными овощами.

И тут к вам в гости заглянул сосед — заядлый огородник и неплохой алгебраист. Он сказал, что носить и сортировать овощи поштучно — это моветон, и можно действовать по иному.

Во-первых, нужно сразу, на месте отбрасывать гнилые овощи.

Во-вторых, после отбрасывания гнилых овощей, одинаковые овощи следует складывать в кучки. И уже после этого укладывать готовые кучки в ящики.

Наконец, ящики, наполненные отсортированными, перебранными овощами, следует относить на склад.

В этом и заключается суть первой теоремы об изоморфизме.

В более строгом математическом выражении первая теорема об изоморфизме гласит примерно следующее:

Картинка в начале заметки иллюстрирует вышесказанное. В качестве огородницы на ней изображена математик Амалия Эмми Нетер (Emmy Noether). Она доказала рассмотренную теорему и внесла значительный вклад в развитие алгебры.

Источник.
A comic page for the first isomorphism theorem. (2022).

Строго про теоремы об изоморфизмах написано в Википедии.

Результат кластеризации

hc <- hclust(dist, method="complete")

преобразуем в дендрограмму

dend.c <- as.dendrogram(hc)

Рисуем дерево

plot(hc)

и рисуем дендрограмму

plot(dend.c)

Дендрограмма выглядит более аккуратной.

В построенном дереве выделяютя кластеры: три явных, остальные проявляются по мере спуска.

Красим кластеры

Расскрасим кластеры. Это позволит их увидеть перед нарезкой. Для раскраски необходима палитра хорошо отличающихся цветов.

Палитра

Палитру сгенерируем при помощи библиотеки paletteer.

library(paletteer)

Палитра бывает трех типов: расходящаяся непрерывная, последовательная непрерывная и дискретная. (Не ручаюсь за точность перевода; в оригинале: diverging, sequential, discrete.)

Для выделения кластеров используем дискретную категориальную палитру.

Палитру выберем из галереи.

cols <- paletteer_d("MetBrewer::Austria")
cols <- paletteer_d("PrettyCols::Bold")

И начнем красить кластеры.

plot( color_branches(dend, k=num.clusters, col=cols) )

Complete linkage

Начнем со связности "complete linkage" и 5, 7, 9 кластеров.

plot( color_branches(dend.c, k=5, col=cols) )

ward.D

Теперь посмотрим на связность "ward.D".

dend.w <- as.dendrogram( hclust(dist_matrix, method = "ward.D") )

Обрежем на картинках верх, так как он очень высокий и покрасим 9 и 11 кластеров.

Хочется еще больше кластеров.

ward.D2

А теперь изучим связность "ward.D2".

dend.w2 <- as.dendrogram( hclust(dist_matrix, method = "ward.D2") )

21 кластер

Остановимся на 21 кластере. Посмотрим, как они выглядят на трех сгенерированных деревьях.

Красиво.

Далее можно нареpать дендрограммы на кластеры.