Постоянство в изменении неподвижной точки

«Математика — свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”»

27 февраля 1881 г. родился Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — голландский философ и математик, работавший в таких областях математики, как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ

Брауэр положил начало новому направлению в математике — интуиционизму

В теории множеств, на основании которой хотелось бы построить математику, в начале XX в. обнаружились всякие парадоксы и противоречия

Чтобы выйти из кризиса, математики пробовали идти разными путями, и один из них — интуиционизм

Брауэр подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного)

Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов

Интуиционистская логика отличается от классической

Например, в классической логике каждое высказывание либо истинно, либо ложно

А у интуиционистов есть истинные высказывания, ложные и все остальные, пока ещё непроверенные. Если высказывание не является истинным, отсюда ещё не следует, что оно ложно

Интуиционисты не признают доказательств от противного и вообще всех неконструктивных доказательств (теме неконструктивных доказательств ранее была посвящена заметка), с особой осторожностью работают с бесконечностями

Взять какие-то высказывания, потом манипулировать ими по формальным правилам и делать формальные выводы — занятие не для них

Каждый отдельный вывод должен быть очевиден и ясен индивидуально

Используя термин «ложный» как «противоположность истинного», классическая логика признаёт, что благодаря т.н. закону исключённого третьего каждое утверждение, в частности, о существовании, либо истинно, либо ложно независимо от того, знает ли кто-либо это на самом деле

Однако, как замечают интуиционисты, закон исключённого третьего действителен только для рассуждений о конечных областях объектов

Язык и логика не способны обеспечить достоверность математических рассуждений в бесконечной области. Закон исключённого третьего, истинный в любой сколь угодно большой конечной области, бесполезен в бесконечной

Поэтому ни сведение математики к логике, ни аксиоматизация математических теорий не годятся для её обоснования

Бесплодие этих проектов объясняется просто — они не способны создавать математические объекты, истинные в бесконечных областях

Интуиционистское исчисление высказываний строил, в частности, А.Н. Колмогоров

Его ученик Пер Мартин-Лёф создал интуиционистскую теорию типов. Его подход использовал В.А. Воеводский для создания гомотопической теории типов

Он ввёл аксиому унивалентности и довёл свои идеи до этапа практических применений

Математики продолжают работать над основаниями своей науки. Интуиционизм к настоящему времени ещё до конца не выкристаллизовался, его значение в обосновании математики предстоит узнать в будущем

Брауэр получил один из самых важных и полезных результатов в топологии — доказал теорему Боля–Брауэра о неподвижной точке

Представьте, что у нас есть два листка бумаги одинакового размера, причём один листок лежит на другом

Вы берёте один листок, сминаете его в комок и бросаете на другой лист так, чтобы ни одна часть этого скомканного листка не выходила за края нижнего ровного листка бумаги

Теорема утверждает: на данном скомканном листке бумаги имеется хотя бы одна точка, которая будет находиться точно над тем же самым местом на нижнем листке бумаги, где она находилась первоначально, когда два ровных листка лежали один на другом

Теорема работает и в других измерениях. Возьмите стакан с чаем и размешайте в нём сахар

Теорема Брауэра настаивает на том, что существует некоторая точка в чае, которая будет находиться в том же самом месте, где она находилась до того, как вы размешали сахар

На более точном языке математики теорема утверждает, что любое непрерывное отображение n-мерного шара в n-мерный шар (где n > 0 — размерность пространства) должно иметь неподвижную точку