Улитка на склоне. Решаем с внуком
Тихо, тихо ползи,
Улитка, по склону Фудзи
Вверх, до самых высот
К какому тексту в качестве эпиграфа подошло бы хокку поэта Исса?
Мне сходу вспомнилась известная задача про улитку:
Улитка взбирается по шесту высотой 10 м. За день она поднимается на 5 м, а ночью засыпает и сползает вниз на 3 м. Через сколько дней улитка достигнет верхушки шеста?
— Пять метров минус три метра, значит суточный подъем равен двум метрам. Делим десять на два, получаем пять...
Третьеклашки спотыкаются на подвохе — вечером четвертого дня улитка уже побывает на вершине. К нижней отметке ночью может и не возвращаться
Популярные «решебники» ограничиваются пояснением в чем хитрость и переходят к выводу: «Таким образом — не пять дней, а четыре!» (Даже категорию заданий указывают как «задачи на минус один»)
— Т.е. в таких задачах нужно сосчитать, как мы в самом начале проделали и отнять единицу?
— Не всегда. Например, «днем поднимается на 7 метров, ночью соскальзывает на 5»?
— Тогда трех дней хватит.
— А если «Улитка взбирается на шест длиной 2758903 метра, днем поднимается на 753780 метра, вечером опускается на 702741 метра»?
Эта нехитрая арифметическая задача отличается целым собранием словесных ловушек. Первое, что сбивает ученика с толку — указанная последовательность действий, которую так и хочется оформить в виде разности «A — B» (дневной подъем минус ночной спуск):
5-3 + 5-3 + ... >10 откуда 2•х > 10
Хотя на самом деле искомым является не итог суточного перемещения, а достигнутая дневная высота: 5 m в первый день, 5 -3+5 m во второй,
5 -3+5 -3+5 m в третий и так далее, пока не наберется нужный интервал:
5 +(-3+5)+ (-3+5) +... +(-3+5) — столько слагаемых, сколько нужно, чтобы набрать сумму > 10 (почему >, а не ≥ — см. дальше)
получим формулу для шеста высотой L :
Дальше обычным образом выражаем неизвестное через известные. Учитывая, что Х должно быть целым (мы же число слагаемых ищем)
Например, в случае условия А=5 В=3 L=10
Итого, необходимую высоту дают 4 слагаемых:
На четвертый день улитка доползет до верхушки.
Рассмотрим вопрос — является ли полученное решение единственным?
(Проверка задачи на корректность по принципу Адамара)
Для наглядности изменим вводную: пусть улитка взбирается по 11-метровому шесту. К концу 4-го дня она как раз доползет до конца, «вот-вот доска кончается...»
— В самом начале мы отметили, что условие выполнено, улитка может оставаться на месте. Но, кто сказал, что она обязана остановиться на достигнутом? Ночью сползет вниз на 3 метра и лишь на пятый день, завершив предписанные итерации, окончательно поднимется на верхушку.
Из-за леса, из-за гор вышел дедушка Егор
Есть такая категория каверзных задач «на сообразительность», я их называю задачи-подлянки-обманки, которые «благодаря» некорректным условиям можно истолковать и так и эдак, а параллельный вариант решения объявить ошибочным.
«В задаче не уточняется, что шест расположен вертикально или что его конец не заточен на конус и улитке есть где удобно расположиться.
Сказано — днем поднимается, ночью спускается, значит должна и на четвертый день соскользнуть! А на пятый подняться снова. И вот тогда можно считать, что всё, свое задание улитка выполнила.»
«Юридически» такое решение правомерно, как минимум наряду с заявленным составителями.
Это еще если не касаться проблемы «через сколько»
— В пятницу вы посадили манговое семечко, через три дня появился росток. Когда появился росток — в понедельник или в воскресенье? Или через три на четвертый — во вторник?
Так называемые задачи «на смекалку» — по большей части не математические или физические, скорее фольклорные, подобные загадкам; принцип решения, считающийся правильным, просто нужно знать.
Что там появилось из-за гор? Да что угодно. «Солнышко» не вычислишь, будучи не в теме. В загадках вопрос и ответ — две части единой художественной миниатюры.
Школьных задачек со словесными уловками не так уж много, все гуглятся, знакомство с ними, включая устройство «каверзы» — часть математической эрудиции.