Алекс в Зазеркалье. Жизнь в цифрах и цифры в жизни

Введение

Математика входит в обязательную школьную программу во всех странах мира. Каждый ребенок школьного возраста изучает алгебру и геометрию, учится измерять площадь нарисованных в тетради фигур, узнает значение числа Пи, а в старших классах знакомится с интегральными уравнениями.

Однако для большинства из нас эти знания так и остаются теоретическими, абстрактными, не имеющими отношения ни к нашей будущей работе, ни к реальной жизни. В лучшем случае мы считаем их полезным инструментом для развития умственных способностей, в худшем — просто стараемся как можно скорее проскочить тест.

На самом же деле математика интегрирована в нашу жизнь настолько плотно, что составляет, по сути, основу любого предмета, которым мы пользуемся. С древнейших времен человечество изучает магию чисел, точек, отрезков. Без математики не существует ни физики, ни химии, ни экономики, ни социальных наук.

Алекс Беллос в своей книге ставит себе задачу объяснить обывателю, насколько важна математика, как она проникает во все сферы нашей жизни и как ее законы управляют Вселенной. Автор понимает, что далеко не каждый неподготовленный читатель может понять сложные формулы. Поэтому книга поясняет только те явления, которые можно охватить умом «нематематика».

В каждой главе автор рассматривает какое-то одно математическое явление или понятие. Сначала он дает историческую справку — объясняет, как это понятие появилось и развивалось на протяжении веков. Затем он довольно простым языком и с применением минимума формул объясняет математическую суть. А в конце, чтобы читатель не соскучился и не решил, что его снова, как в школе, уводят в область абстрактного, автор приводит совершенно понятные и логичные примеры того, как данное явление используется в жизни или влияет на нас.

В конце книги также говорится о развитии математической мысли и о перспективах математической науки.

1. Жизнь и цифры

Иногда мы об этом даже не подозреваем, но у каждого из нас есть определенное отношение к цифрам и определенные отношения с цифрами. Наш мозг, пусть и неосознанно, отделяет четные числа от нечетных, наделяет числа красотой, характером, скрытыми смыслами.

Так было всегда. Еще в древние времена считалось, что цифра 1 олицетворяет мужское начало, а цифра 2 — женское. В каждой цивилизации, особенно на Востоке, было огромное количество предрассудков, связанных с числами. Числа 3, 5 и 7 имели различные значения в разных мифологиях и традициях, были то счастливыми, то, наоборот, проклятыми. Число 4 во многих цивилизациях олицетворяло смерть.

Сейчас символикой чисел и изучением их воздействия на человеческое сознание занимается наука семиотика. Исследования, проводимые специалистами по семиотике, позволяют не только узнать много нового о человеческом мозге, подсознании и о том, что влияет на развитие менталитета отдельных людей и групп, но и помогают при оценке эффективности рекламных кампаний, маркетинговых стратегий и правильности брендирования товаров.

Например, исследования позволяют сделать вывод, что для хозяйственных товаров более удачным будет бренд, в котором используется четное число. Четность внушает представление о стабильности и предсказуемости, о том, что товар будет соответствовать ожиданиям. Нечетные же числа содержат в себе некое мистическое начало, загадку, недосказанность. Больше всего эта загадочность бросается в глаза (или, если точнее, дает импульс подсознанию), когда речь идет о числах, заканчивающихся на 1.

Например, знаменитая модель джинсов Levi’s 501. Скорее всего, все согласятся, что 500 в названии модели звучало бы чересчур обыденно, не привлекало бы внимания, в то время как 501 — это число-загадка, число с характером, оно не оставляет вас равнодушным.

Иными словами, мы всегда обращаем внимание на то, делится ли число на два. Наше сознание фиксирует это и делает определенный вывод.

Еще один интересный вывод, к которому пришли исследователи, состоит в том, что круглые числа всегда кажутся больше, чем некруглые, даже если на самом деле это не так.

Поэтому, если вы, например, продаете квартиру, лучше назначить за нее цену в 11 358 256 рублей, чем 11 350 000.

Если цена заканчивается на 9, то наше сознание считывает ее как сниженную, то есть мы изначально полагаем, что нам предлагают хорошую сделку. Но есть и обратная сторона: цена, оканчивающаяся на 9, ассоциируется с дешевым товаром.

Поэтому, например, дорогие рестораны ни за что не поставят цену на свое блюдо в 399,99 рублей.

Есть и множество других инструментов и техник, которые играют с вашим сознанием и оказывают влияние на то, купите вы товар или нет. Вот некоторые из них:

• Если цена заканчивается на ,99 или ,98, мы часто отвлекаемся на эти большие числа и забываем, какие цифры стоят в начале ценника. Добавим к этому подсознательную идею о том, что цена с такими последними цифрами регистрируется мозгом как выгодная сделка — и вот вы уже приобрели товар ничуть не дешевле, чем в любом другом магазине, но считаете, что сэкономили.

• Если убрать обозначение денежных единиц (руб.) из меню, то цифры перестают восприниматься как цены, мы словно абстрагируемся от того, что эти числа соответствуют тому количеству денег, которые нам придется доставать из кошелька.

• То же происходит, если цена в меню указана не в отдельном столбце, а непосредственно рядом с наименованием блюда.

• Часто продавцы выставляют в витрину со скидочными товарами товары по высокой цене, чтобы по сравнению с ними более дешевые выглядели еще дешевле — и тогда на самом деле скидку можно и не давать, покупателю все равно будет казаться, что покупка выгодная.

Иными словами, цифры имеют огромное влияние на нашу жизнь. Может быть, именно поэтому люди наделяют цифры характеристиками, различают их по цветам, с которыми они ассоциируются в их сознании, или выбирают любимые числа. Наш мозг при соприкосновении с цифрами работает как решето: какие-то цифры он пропускает незамеченными, а какие-то застревают в нем и вызывают эмоции. Какие именно эмоции и как ими управлять — это задача для специалистов по семиотике. Главное одно: наш мозг всегда, словно локатор, нацелен на цифры, он реагирует на них, даже если мы искренне считаем, что математика не имеет места в нашей жизни.

Однако вызывать определенные эмоции и реакции у людей и влиять на их поведение в магазине — это далеко не единственное, что умеют цифры. Цифры — это целый мир, живущий по непреложным законам, и эти законы непосредственно влияют на все аспекты нашей жизни.

Если вы возьмете газету и выделите все числа, которые увидите на полосе, то самым частым числом будет 1, а самым редким — 9. Запомните это, это отличный фокус, при помощи которого вы всегда сможете выиграть спор.

В конце XIX века один математик заметил, что в библиотеке, куда студенты приходили делать домашние задания по математике, самыми потрепанными были первые тома логарифмических таблиц, последние же выглядели почти новыми. Получается, студенты гораздо чаще при решении задач использовали логарифмические таблицы, начинающиеся с единицы.

В XX веке ученые решили экстраполировать результаты этого наблюдения на другие группы чисел. Они анализировали данные пересчетов населения, адресные книги, бейсбольную статистику — результат был один и тот же. Наиболее частая цифра — 1, наиболее редкая — 9. Это явление получило название закона Бенфорда, по имени ученого, который первым его описал.

Если говорить о практическом применении, стоит отметить, что закон Бенфорда — это первое, что используют специалисты по расследованию экономических преступлений. Если в статистике или отчетности какой-либо компании закон Бенфорда нарушен — это сигнал, указывающий на то, что данные подтасованы.

Закон Бенфорда работает для абсолютно любой группы чисел и для любых единиц измерения, будь то доллары, километры или градусы. Возьмите случайное количество чисел из любой базы данных, и чем больше чисел попадет в вашу выборку, тем ближе результат будет соответствовать закону Бенфорда. Закону Бенфорда подчиняется даже последовательность Фибоначчи.

При этом, хотя сам закон легко можно сформулировать в нескольких простых предложениях и объяснить даже ребенку, для его доказательства была использована эргодическая теория — сложнейшая комбинация теории относительности и статистической физики.

Любопытную закономерность можно пронаблюдать и в текстах книг. Если все слова в книге упорядочить по убыванию частоты их использования, то частота каждого слова в таком списке окажется приблизительно обратно пропорциональной его порядковому номеру (или рангу этого слова). Например, второе по используемости слово встречается примерно в два раза реже, чем первое, третье — в три раза реже, чем первое, и так далее.

Эта закономерность называется законом Ципфа. И получается, что даже слова, которые мы выбираем, укладываются в определенную математическую закономерность.

В отличие от закона Ципфа, принцип Парето, хоть и имеет похожую основу, применим гораздо более широко. Большинство из нас с ним уже знакомо — это принцип 80/20, согласно которому 20% причин имеют 80% эффекта. Если вернуться к Ципфу с его словами, то можно увидеть, что первые 20% слов из нашего списка составят около 80% объема всей книги.

Тот же принцип можно наблюдать и в распределении богатств (80% денег принадлежат 20% самых богатых людей), и в распределении населения по городам (80% городского населения страны будет проживать в 20% самых крупных городов), и в распределении жертв конфликтов (80% человеческих жизней, потерянных в результате военных действий, были потеряны в 20% самых кровавых и крупных войн). Человеческое поведение во многом также подчиняется принципу Парето. К примеру, когда человек отвечает на накопившиеся в почтовом ящике письма, 80% времени у него займет составление ответов на 20% писем. Благодаря принципу Парето до сих пор жива киноиндустрия и работают книжные издательства: и тем, и другим удается оставаться на плаву, потому что 80% прибыли они получают за 20% снятых ими блокбастеров или выпущенных бестселлеров.

Единственное, что нужно помнить при использовании закона Ципфа или принципа Парето — область их применения крайне широка, но она не относится к тем данным, в которых можно оперировать средними величинами. Например, если речь идет о человеческом росте. Существует понятие среднего роста, которое можно вывести на основании статистических данных — рост большинства людей будет соответствовать этой величине. Поэтому принцип Парето не работает. Но вы не можете оперировать понятиями вроде «средний богатый человек» (можно лишь вывести средний заработок среди людей одной группы) или «средний военный конфликт».

Теперь поговорим об экспоненциальных законах, которые тоже имеют огромное влияние на нашу жизнь. Чтобы было понятно, о чем идет речь, приведем совсем простой пример.

В знаменитом голливудском блокбастере Годзилла — это гигантская обезьяна, рост которой в 500 раз больше, чем рост обычной гориллы. Логично предположить, что если ее рост в 500 раз больше, то это потому, что кости у нее в 500 раз длиннее. Однако это не так. Если бы скелет чудовища увеличивался по сравнению с обычной обезьяной так же, как рост, то кости просто не выдержали бы массы тела. На самом деле, если площадь поперечного сечения объекта увеличивается пропорционально квадрату высоты, то объем увеличивается пропорционально кубу. Таким образом, если рост обычной гориллы х, то на каждое увеличение роста x2 объем тела будет увеличиваться как x3, чтобы поддержать подобный объем тела. Это называется закон масштабирования.

Похожие закономерности есть и в биологии. Например, скорость обмена веществ у животного составляет примерно 3/4 массы его тела. Есть и другие пропорции: например, скорость сердечного ритма также пропорциональна массе тела и т. д.

Определив эти закономерности, ученые, как и в случае с законом Бенфорда, решили экстраполировать их на другие области науки. Если представить себе, что живой организм — это транспортная система, то логичный вывод состоит в том, что транспортная система города работает по похожей схеме. Оказалось, что это правда: городские инфраструктуры по всему миру также подчиняются законам масштабирования.

2. Основные понятия математики

Итак, мы уже поняли, что цифры и математические законы — это не абстракция, а неотъемлемая часть любого аспекта нашей жизни. Теперь пойдем дальше и посмотрим, какие математические понятия из школьной программы являются наиболее важными для человека.

Треугольник

Развитие математической мысли началось в древние времена с изобретения самой простой математической фигуры — треугольника. Прямоугольный треугольник, открытый и описанный греками, перевернул не только математику, но и архитектуру, дал толчок к развитию астрономии, артиллерии, естественных наук. При помощи треугольника люди научились измерять расстояния и углы. Причем эти знания были актуальны много веков после исчезновения Древней Греции. Уже в XVIII веке по приказу короля вся территория Франции была измерена и описана картографами при помощи метода триангуляции — это вид измерения, в основе которого лежит разделение имеющейся большой площади на небольшие треугольники. Даже сейчас тригонометрические функции являются частью системы GPS. Иными словами, тригонометрические функции были частью нашей жизни более 2000 лет назад — и остаются таковыми до сих пор.

Конус

Теперь обратимся к конусу. Конус — объемная фигура, в основе которой лежит окружность и которая в разрезе представляет собой треугольник. Конус был изобретен математиком Апполинарием в Египте 2000 лет назад. Кроме того, Апполинарий описал конические сечения. Многие века конус и конические сечения считались вершиной древней математической мысли — красивой математической абстракцией без какого-либо практического функционала. Однако много столетий позже было обнаружено сразу две области применения конических сечений. Кеплер обнаружил, что планеты движутся по орбитам, имеющим форму эллипса, а Галилей открыл, что брошенное тело движется по параболе. И эллипс, и парабола являются коническими сечениями.

В наши дни параболы используются в лампочках накаливания, поскольку это геометрическая форма, которая наиболее эффективно отражает свет. Также в форме парабол строят солнечные батареи, потому что они хорошо собирают тепло.

Параболоид — единственная форма, которая способна отражать звуковые волны в заданном направлении, поэтому они используются при строительстве антенн.

После того, как Декарт изобрел двухмерную систему координат, стало очевидно, что любое квадратное уравнение может быть графически изображено в виде параболы. Так впервые в истории было обнаружено пересечение алгебры и геометрии, которые до этого считались отдельными дисциплинами. Появилось новое направление математики — номография, которая стала использовать геометрию для решения алгебраических уравнений. Конические сечения являются величайшим наследием древних греков. Несмотря на свою кажущуюся простоту, они были и остаются важнейшей частью нашего мира.

Число Пи и окружность

Математика как наука представляет собой вечный поиск совершенства, ясности и точности. Однако есть одно общеизвестное математическое понятие, которое выбивается из этих принципов и нарушает гармонию. Это число Пи Подумайте сами. Ведь для того, чтобы его найти, мы используем диаметр. А диаметр — это не что иное, как искусственно созданная линия, которая представляет собой двойной радиус. Радиус — вот что по-настоящему важно для окружности, диаметр же является наспех сооруженной второстепенной конструкцией. Именно поэтому несколько лет назад математик Майкл Хартл предложил отказаться от Пи в пользу числа т (тау), которое получается при делении длины окружности на радиус. У тау есть как сторонники, так и противники, но никто не может отрицать, что радиус — с точки зрения математики — гораздо более важное и красивое понятие, чем диаметр.

Вообще, окружность — это одна из первых геометрических фигур, известных человечеству. И это одна из тех фигур, значение которых в жизни сложно переоценить. Круг — это колесо. Однако и помимо самого колеса наблюдение за вращением окружности дало человечеству много ценной информации. Например, открытие циклоиды (траектории, которую рисует заданная точка на окружности при ее вращении) привело к развитию волновой теории. А открытие законов, которым подчиняются звуковые волны, позволило усовершенствовать музыкальные инструменты, привело к открытию акустики и прорыву в сейсмологии. Так изобретение колеса привело в конечном итоге к тому, что ученые могут теперь предсказывать землетрясения и вовремя эвакуировать население.

Экспонента

Еще одно важнейшее математическое понятие, которое мы используем в повседневной жизни — это экспонента. Экспоненциальный рост — это закономерность, при которой чем больше становится величина, тем быстрее она растет. Представим себе, что в бутылке содержится одна бактерия. Через определенный промежуток времени она размножается и превращается в две. Затем две становятся четырьмя и так далее. Количество бактерий все время удваивается. Очевидно — когда бактерий всего 4 или 16, до наполнения бутылки еще очень далеко. Но до числа 65 792 бактерий — всего 17 шагов.

Рост по экспоненте подчиняется «правилу семидесяти двух»: величина, растущая на х процентов в равные промежутки времени, удвоится через 72/х промежутков. Экспоненциальный рост лежит в основе кредитной системы банков. А распад по экспоненте используется в ядерной физике, поскольку он описывает процесс распада ядра.

Мнимое число

В древности не существовало понятия отрицательных величин. И это логично: ведь изначально цифры были изобретены для того, чтобы посчитать какое-либо имущество: скот, меры зерна и т. д. Первое упоминание отрицательных чисел было найдено в Индии. Там эти величины использовались для записи долгов. С течением времени отрицательные величины из Индии перекочевали на Запад, и в конце концов стали использоваться повсеместно. Однако лишь в XVIII веке математик Эйлер попытался извлечь квадратный корень из –1. До Эйлера подобная математическая операция считалась абсурдной и не имеющей смысла. Ведь квадрат любого числа должен быть числом положительным. То есть числа, которое при возведении в квадрат составит –1, не существует.

Однако Эйлер предложил для описания таких несуществующих или воображаемых чисел ввести в математику понятие мнимой единицы (обозначается как i). Мнимая единица — это и есть то число, которое в квадрате равно –1. Далее Эйлер вывел формулу, согласно которой √-n=(n)*i. В отличие от мнимых чисел, обычные числа Эйлер назвал вещественными, а сумма мнимого и вещественного числа дает комплексное число.

Кстати, мнимые числа стали настоящим яблоком раздора в математике. И если часть ученых приняла это нововведение и начала его использовать, существовали и те, кто считал эту идею совершенно абсурдной. К числу последних принадлежал Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный как Льюис Кэрролл. Считается, что Безумное чаепитие в книге «Алиса в стране чудес» является сатирой на Эйлера и его мнимые числа.

Изобретение мнимых чисел в конце концов привело Эйлера к созданию тождества, известного как тождество Эйлера: eiПи+1=0. В этом тождестве видна вся стройность и красота математики, поскольку оно объединяет в себе все пять важнейших математических констант: e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица, Пи — число пи, а также 1 и 0.

Мнимые числа привели к расширению понятия числа, которое на протяжении тысячелетий оставалось неизменным, а также разорвало считавшуюся нерушимой связь между числами и их значением. Выяснилось, что число не обязательно должно быть наполнено логическим смыслом, который можно объяснить. А это значит, что математики получили возможность описывать новые явления.

Новаторство Эйлера побудило Гамильтона к мысли создать пространственную систему координат, чтобы описать вращение в пространстве. Гамильтон выяснил, что создать математические правила для векторного пространства размерностью 3 невозможно, однако при размерности 4 это допустимо. Поэтому появившееся новое направление алгебры назвали кватернионным. Кватернионы используются в компьютерной технике и аэронавтике.

Однако вклад Эйлера в развитие науки не ограничивается теми значительными открытиями, которые уже перечислены. Помимо толчка, который его идеи дали математической науке, стоит упомянуть и еще одно, более практическое открытие. Эйлер повлиял на жизнь каждого из нас, когда изобрел клотоиду — кривая, у которой кривизна возрастает обратно пропорционально дуге. То есть чем длиннее спираль, тем она менее загнута.

Дело в том, что раньше все дороги, в том числе железные, представляли собой сочетание прямых линий и кругов. Соответственно, при повороте, то есть при заходе в круг, транспортное средство начинало чувствовать на себе воздействие центробежной силы. Чем быстрее движется, допустим, поезд, тем больше пассажиры ощущают на себе действие центробежной силы — и тем опаснее и неприятнее становится поворот. Если же круг заменить на клотоиду, более плавную линию, центробежная сила пропадает или ее действие сглаживается. Таким образом, появлением высокоскоростных трасс и железных дорог мы обязаны Эйлеру и его клотоиде — без нее мы никогда не смогли бы двигаться быстрее первых моделей паровозов без опасности для жизни. Клотоида, кстати, используется и при строительстве «американских горок».

Заключение. Кто занят описанием математической мысли

Евклид, древнегреческий математик, вошел в историю как первый ученый, описавший основные математические методы. Его «Элементы» — книга, пережившая чуть ли не больше переизданий на всех языках мира, чем Библия. Он жил в III веке до новой эры и задал стандарт для всей математической науки на тысячелетия вперед. Лишь в XIX веке математики начали писать о том, что «Элементы» содержат некоторые неточности и нелогичности. В конце XIX века немецкий ученый Фреге предпринял первую попытку заново описать математическую логику, однако эта попытка была не слишком удачной, потому что в своем труде он допустил парадокс, да и сам труд был слишком сложным и объемным.

Сейчас наиболее влиятельным методологом математики является Никола Бурбаки. На самом деле, Бурбаки — это не один человек, а коллективный псевдоним, который взяла себе группа математиков, которая в 1935 году основала математическое общество. Цель этого общества — создание серии книг, описывающих современное состояние математики. Бурбаки работают до сих пор. Общество подчиняется своду строгих правил. В частности, количество членов в нем фиксировано. Как только один из членов достигает 40 лет, он выходит из общества, и выбирается новая кандидатура. Это правило дает обществу постоянный приток свежей крови и позволяет не стоять на месте. Общество является тайным — формально ни один из членов общества не имеет права раскрывать посторонним свое членство. Каждый написанный Бурбаки кусок очередного тома зачитывается в присутствии всех членов общества, и каждый член должен согласовать любую написанную строку. Поэтому неудивительно, что, несмотря на почти столетний труд, дело Бурбаки еще не завершено. Однако его члены верят в то, что большая часть пути уже пройдена. Труд Бурбаки носит название «Элементы математики» и выходит частями.

Многим может показаться, что работа Бурбаки и других теоретиков математики не имеет смысла, однако это не так. Математика — живая и динамичная наука, она влияет на все сферы нашей жизни, она описывает любые явления, от движения транспорта и динамики роста городов до скорости распространения водорослей в водоеме.

Человечество в будущем будет нуждаться во все более совершенных технологиях, поэтому так важно, что математическая мысль не стоит на месте и служит импульсом и базой для прогресса.