Решение задачи 434

Условие:

ABC —прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке E, а катетов AB и BC в точках F и G соответственно. FH — высота в треугольнике FEG. Докажите, что AH — биссектриса угла BAC.

Решение:

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Проведем радиусы IF и IG, получим следующую картинку:

Докажем, что точки A, I, H лежат на одной прямой. AI — биссектриса угла BAC, поэтому если мы докажем, что эти три точки лежат на одной прямой, то мы как раз получим, что AH — биссектриса угла BAC.

Легко видеть, что фигура BFIG — квадрат. Действительно, углы FBG, BFI, BGI прямые, поэтому BFIG — прямоугольник. Стороны BF и BG равны как отрезки касательных, поэтому BFIG — прямоугольник с двумя равными смежными сторонами, т.е. квадрат. Отсюда следует, что угол FIG прямой. Следовательно четырехугольник FIHG вписанный и углы GIH и GFH равны, как углы, опирающиеся на одну хорду в окружности. В свою очередь углы FGE и FEA также равны по теореме об угле между касательной и хордой. А угол FEA равен углу FIA, поскольку четырехугольник AFIE также вписанный (углы AFI и AEI — прямые).

Выходит, что ∠AIF + ∠FIG + ∠GIH = 90 + ∠AIF + ∠GIH = 90 + ∠GFH + ∠FGH = 180 (сумма углов треугольника GFH). Значит точки A, I, H лежат на одной прямой.

Источник: Всероссийская олимпиада по математике, региональный этап