Подсказка к задаче 435

Рассмотрите две верхние строки. Может ли в разбиении быть уголок, который пересекается второй строкой, но не пересекается певой?

October 21, 2018
by Sergey Petrov
0
51

Решение задачи 435

Условие:

Можно ли замостить доску 12x12 уголками из трех клеток так, чтобы любой вертикальный столбец и любая горизонтальная строка пересекали одинаковое число уголков?


Решение:

Давайте посмотрим на самую верхнюю строку (назовем ее первой) и на строку, находящуюся под ней (назовем ее второй). Легко понять, что любой уголок, который пересекается первой строкой пересекается также и второй (синий уголок на рисунке снизу). Значит в разбиении не может быть уголка, который пересекается второй строкой и при этом не пересекается первой (красный уголок на рисунке снизу), т.к. в этом случае вторая строка будет пересекать больше уголков, чем первая.

Выходит, что прямоугольник, состоящий из двух верхних строк должен быть заполнен уголками, которые полностью находятся внутри этого прямоугольника.

Совершенно аналогичные рассуждения можно провести и для крайнего правого столбца доски и соседнего с ним.

Осталось заметить, что по такой логике, квадрат (фиолетовый квадрат на рисунке снизу), находящийся в пересецении двух первых строк и двух правых столбцов должен быть заполнен уголками, не выходящими за пределы этого квадрата. Что, очевдно, невозможно.

Полученное противоречие доказывает невозможность такого разбиения.


Ответ: нет, нельзя.

Источник: всероссийская олимпиада по математике, региональный этап.

October 21, 2018
by Sergey Petrov
0
135

Подсказка к задаче 434

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Попытайтесь доказать, что точки A, I, H лежат на одной прямой.

October 20, 2018
by Sergey Petrov
0
68

Решение задачи 434

Условие:

ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке E, а катетов AB и BC в точках F и G соответственно. FH — высота в треугольнике FEG. Докажите, что AH — биссектриса угла BAC.


Решение:

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Проведем радиусы IF и IG, получим следующую картинку:

Докажем, что точки A, I, H лежат на одной прямой. AI — биссектриса угла BAC, поэтому если мы докажем, что эти три точки лежат на одной прямой, то мы как раз получим, что AH — биссектриса угла BAC.

Легко видеть, что фигура BFIG — квадрат. Действительно, углы FBG, BFI, BGI прямые, поэтому BFIG — прямоугольник. Стороны BF и BG равны как отрезки касательных, поэтому BFIG — прямоугольник с двумя равными смежными сторонами, т.е. квадрат. Отсюда следует, что угол FIG прямой. Следовательно четырехугольник FIHG вписанный и углы GIH и GFH равны, как углы, опирающиеся на одну хорду в окружности. В свою очередь углы FGE и FEA также равны по теореме об угле между касательной и хордой. А угол FEA равен углу FIA, поскольку четырехугольник AFIE также вписанный (углы AFI и AEI — прямые).

Выходит, что AIF + ∠FIG + ∠GIH = 90 + AIF + GIH = 90 + GFH + FGH = 180 (сумма углов треугольника GFH). Значит точки A, I, H лежат на одной прямой.


Источник: Всероссийская олимпиада по математике, региональный этап

October 20, 2018
by Sergey Petrov
0
149

Нет трех подряд идущих простых чисел!

Посмотрим на эти три числа с точки зрения их четности. Возможны два варианта (Ч — четное, Н — нечетное) : ЧНЧ, НЧН.

Если среди трех эти чисел два четных, то хотя бы одно из них отлично от двойки и не может быть простым.

Если среди этих трех чисел ровно одно четное, то это должна быть двойка, значит исходная тройка: 1,2,3. 1 не является простым числом.

October 12, 2018
by Sergey Petrov
1
42
Show more