Решение задачи 423

Условие:

Решите уравнение в целых числах: x³ + y³ = 2³⁰

Решение:

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) = 2³⁰

Покажем, что если x и y являются решением исходного уравнения, то

x² - xy + y² ≠ 1.

Действительно, если предположить, что x² - xy + y² = 1, то в силу x² + y² ≥ 2xy ⇒

1 = x² - xy + y² ≥ ½(x² + y²) ⇒ (x² + y²) ≤ 2.

Таким образом, x и y не могут превосходить по модулю 1. Очевидно, что такие x и y не могут быть решением уравнения x³ + y³ = 2³⁰ (т.к. x³ + y³ ≤ 2)

Совершенно аналогично можно доказать, что если x и y являются решениями исходного уравнения, то x² - xy + y² ≠ -1 (можно аналогичными оценками прийти к неравенству (x² + y²) ≤ -2, которое не имеет решения в целых числах).

Покажем теперь, что x и y обязаны быть четными.

Действительно, если x и y являются нечетными, то (x + y) - четное число, а

(x² - xy + y²) — нечетное, причем оно не равно ±1, как было показано ранее. Следовательно, у числа (x + y)(x² - xy + y²) есть нечетный делитель и оно не может равняться 2³⁰.

Аналогично не может быть такого, что x — четное, а y — нечетное (или наоборот), поскольку число (x² - xy + y²) в таком случае также будет нечетным.

Значит, x и y — четные числа. Пусть x = 2x₁, y = 2y₁, тогда уравнение примет вид:

x₁³ + y₁³ = 2²⁷

И для него верны все те же самые утверждения, что и раньше.

Теперь опять делаем замену x₁ = 2x₂, y₁ = 2y₂ и повторяем сказанное выше.

Таким образом в конце мы приходим к уравнению x₁₀³ + y₁₀³ = 1, которое в целых числах имеет только два решения: x₁₀ = 1 и y₁₀ = 0, либо x₁₀ = 0 и y₁₀ = 1. Делая все обратные замены, получаем, что есть два решения исходного уравнения:

x = 2¹⁰, y = 0 и x = 0, y = 2¹⁰ .

Ответ: x = 2¹⁰, y = 0 и x = 0, y = 2¹⁰.