День числа пи

В учебнике математики за 6 класс мы можем прочитать следующее: ещё в древности математики заметили, что длина окружности всегда в одинаковое число раз больше её диаметра. То есть отношение длины окружности к её деиаметру постоянно. Эту величину принято называть числом пи. Это число иррационально, то есть не может быть записано в виде обыкновенной дроби с натуральным числителем и знаменателем. Но для приблизительных вычислений достаточно использовать округление числа π до сотых - 3,14. Вот, пожалуй, и все, что школьники могут рассказать о числе π, даже если внимательно слушали учителя. Но на самом деле, с числом π и историей его изучения связано множество любопытных фактов. Мы познакомимся лишь с небольшой их частью.

Но прежде чем начать знакомство с историей числа π, хочу предложить вам эксперимент, который можно провести с детьми. Возьмите любой предмет, являющийся в сечении окружностью - прекрасно подойдёт стакан или кружка. Попросите ребёнка с помощью линейки измерить диаметр кружки. Затем возьмите нитку и постарайтесь измерить длину окружности кружки. Разделите измеренную длину окружности на диаметр - какое число у вас получилось? Насколько оно близко к известному нам значению числа π? Что получится, если повторить эти действия с другим предметом? Этот эксперимент позволит детям не только выучить раз и навсегда формулу длины окружности. Они также смогут почувствовать, что число пи - не выдумка человечества, это число лежит в основе устройства нашего мира. А вот теперь, когда мы вычислили число π самостоятельно, узнаем чуть больше о том, как это делали до нас. 

1. Поразительно, но число π упоминается в Библии. В Третьей Книге Царств описывается устройство бассейна для ритуальных омовений: «И сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом». Легко посчитать, что здесь значение числа π оказывается равно трём. Но мы знаем, что математики уже в глубокой древности нашли более точное его значение.

2. Хотя уже во втором тысячелетии до нашей эры египетские математики использовали для вычислений значение π, равное 3,16, большой прорыв в истории числа π совершил Архимед. В III веке до нашей эры в своём сочинении «Об измерении круга» он привёл следующий способ вычисления числа π: он вычислял периметры вписанных и описанных около окружности с диаметром 1 правильных (равносторонних) многоугольников. Так как длина окружности с диаметром 1 равна π, получалось, что число π непременно должно быть больше периметра вписанной, но меньше периметра описанной окружности. Увеличивая число сторон многоугольника до 96, Архимед смог получить достаточно точную оценку числа π. Опыты Архимеда несложно и интересно повторить с детьми.

3. К концу XVI века иррациональность числа π, хотя и казалась достоверной, ещё не была строго доказана. И находились математики, которые верили, что число π является дробью с огромным периодом, то есть что цифры в числе пи в некоторый момент начнут повторяться. Самым известным из таких математиков является Лудольф ван Цейлон. Пользуясь методом Архимеда, он к 1615 году вручную смог вычислить 32 десятичных знака числа π! Эта работа стала делом его жизни, поэтому её результат - знаки числа π он завещал выгравировать на своём надгробном камне (который до сих пор можно увидеть в нидерландском городе Лейден).

4. Ещё один поразительный факт, связанный с вычислением числа пи - это метод иглы Бюффона. Он получил своё название по имени французского математика Жоржа Бюффона, разработавшего эксперимент в середине XVIII века. Его метод состоял в следующем: он изображал на листе бумаги параллельные прямые, удаленные друг от друга на расстояние, равное 1 см. Затем он брал иглу длины n (n обязательно должно превышать 1 см) и кидал на лист бумаги с прямыми. С помощью теории вероятностей возможно доказать, что вероятность того, что игла при падении не пересечёт ни одну из прямых равна 2n/π. Попробуйте повторить эксперимент Бюффона с детьми, сделав достаточно большое количество опытов (около сотни) - что у вас получилось? 

Американский физик Ричард Фейнман имел прекрасное чувство юмора. Он заметил, что в десятичной записи числа π начиная с 762 цифры после запятой идёт шесть девяток подряд. На одной из своих лекций он сказал, что мечтает выучить знаки числа π до этой позиции, чтобы произнося число π вслух, заканчивать так: «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее», вводя собеседника в заблуждение, что дальше цифры будут повторяться, а значит число пи рациональное. С тех пор эта последовательность из шести девяток в записи числа π имеет отдельное название - точка Фейнмана. 

В современном мире, когда компьютеры уже могут вычислить число π с поразительной точностью, люди с поразительным энтузиазмом соревнуются в способности запомнить наизусть знаки числа π. На данный момент рекорд, занесённый в книгу рекордов Гиннеса, принадлежит индийскому студенту Раджиру Мина, который запомнил 70000 знаков после запятой. Конечно, наши попытки побить его рекорд скорее всего окажутся неуспешными. Однако поразить своих друзей способностью воспроизвести несколько знаков числа π совсем несложно, если запомнить специальные мнемонические правила.

Автору книг о математике Сергею Боброву принадлежит следующее четверостишие:

Нужно только постараться

 И запомнить все, как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Известнейший популяризатор науки Яков Исидорович Перельман придумал поговорку: «Что я знаю о кругах». Если посчитать буквы в каждом слове этой фразы, мы восстановим пять знаков числа пи. 

Учитель одной из московских школ придумал стихотворение подлиннее, построенное по этому же принципу:

Это я знаю и помню прекрасно

Пи многие знаки мне лишни, напрасны.

Попробуйте с детьми придумать свои мнемонические правила для запоминания цифр числа π. 

Удачи!