Математическое исследование: сумма углов многоугольника

Мне посчастливилось учиться в школе, в которой помимо российской образовательной программы существовала также программа Международного бакалавриата (IB, International Baccalaureate). Таким образом, по окончании школы мы получали не только аттестат, но и международный диплом. 

Принципиальное отличие организации уроков математики в этих программах заключается в наличии такого понятия, как математическое исследование. При таком формате работы, нам, как ученикам, предлагалось выполнить несколько новых для нас заданий, сделать некоторые выводы и, обобщив полученные результаты, сформулировать новый (для нас) математический факт или правило. Звучит достаточно сложно, но на самом деле, это всегда захватывающий и интересный процесс. 

В этой статье я предлагаю вам шаги одного из таких математических исследований, которые вы можете пройти вместе со своими детьми. Посвящено наше исследование будет сумме углов выпуклого многоугольника. Его можно предложить как семиклассникам во втором полугодии, так и восьмиклассникам, которые только начали учебный год.

Что необходимо знать и уметь перед началом исследования?

Дети должны знать теорему о сумме углов треугольника, понимать, что такое многоугольник и диагональ многоугольника.

Шаги исследования

1. Ввести определение - договориться, что выпуклым мы будем называть многоугольник, все диагонали которого целиком лежат внутри многоугольника.

2. Попросите ребёнка нарисовать несколько примеров выпуклых и невыпуклых многоугольников (несколько примеров на рисунке ниже).

3. Изобразите любой выпуклый четырёхугольник АВСD. Попросите ребёнка провести все возможные диагонали из вершины A. Такая диагональ будет всего одна.

4. Убедитесь, что проведённая диагональ разбила наш четырехугольник на два треугольника. Обсудите, как можно найти сумму углов четырехугольника. Если ребёнок сам не предложит такую идею, подскажите, что можно найти сумму углов каждого из получившихся треугольников, а потом эти сумму сложить. Сумма углов каждого из двух треугольников равна 180 градусов, значит сумма углов четырехугольника равна 180*2=360 градусов.

5. Предложите ребёнку вычислить сумму углов выпуклого пятиугольника АВСDE. Проведите все диагонали из вершины А, посчитайте количество треугольников, на которую нашу фигуру разбили диагонали, повторите действия аналогично шагу 4. Диагонали разбивают фигуру на 3 треугольника, то есть сумма углов выпуклого пятиугольника будет равна 180*3 = 540 градусов.

6. Действуя аналогично и самостоятельно, ребёнок может заполнить все строки таблицы, приведённой ниже (её же можно скачать под публикацией).

На каждом из перечисленных шагов исследования можно свести своё участие к минимуму, если вы чувствуете, что ребёнок уже уловил суть задания и готов действовать самостоятельно. Чем раньше это произойдёт, тем полезнее это занятие будет для ребёнка. Самое интересное - последняя строка таблицы - вывести формулу суммы углов  многоугольника, у которого n сторон. Очень важно не подсказывать ребёнку решение! Гораздо полезнее оставить эту строку совсем незаполненной (если пока этот уровень обобщения для ребёнка непосилен), чем заполнить её за ребёнка. Это действительно очень сложный шаг, и он требует определенного уровня развития навыков анализа и обобщения. Как раз для их формирования и проводятся занятия в таком формате, поэтому нестрашно, если сначала некоторые шаги будут даваться ребёнку с трудом или не даваться совсем. Все придёт с опытом. Но это обязательно должен быть его собственный опыт, а не ваш! 

Для тех же, кому это исследование покажется совсем легким, есть задание посложнее: попробовать свои силы в нахождении суммы углов невыпуклой фигуры - а именно пятиконечной звезды. 

Удачи!