Что такое площадь

Если составить рейтинг вопросов, ответы на которые регулярно приводят меня в ужас, то на первом месте, пожалуй, окажется вопрос: «Что такое площадь?». Потому что даже от достаточно взрослых ребят я регулярно слышу: «Площадь - это длина умножить на ширину». Это пугает меня, даже если не обращать внимание на построение этой фразы с точки зрения норм русского языка, и не придираться, что это скорее ответ на вопрос, как площадь посчитать, и то не верный. Это то «знание», которое я пытаюсь искоренить сразу же, как только слышу, вне зависимости от возраста ребёнка. Как это сделать, и что же такое площадь на самом деле, мы поговорим в этой статье.

Сначала постараемся дать определение этому непростому понятию. Сразу уточню, что перед вами определение неформальное, но доступное для понимания детей. Площадь - величина, которая характеризует размер геометрической фигуры. Это значит, что на самом деле, находя площадь фигуры, мы пытаемся найти численный ответ на вопрос: «Насколько эта фигура большая?». Как найти площадь геометрической фигуры? Для этого попробуем для начала восстановить, как мы обычно находим другую величину, например, длину отрезка. Для начала мы определяем меру (то есть единицу измерения) - в чем мы будем измерять длину - в сантиметрах, саженях, километрах или попугаях. А затем выясняем, сколько раз нашу меру можно отложить последовательно на измеряемом отрезке. С площадью нам надо поступить абсолютно так же. Измерить площадь - значит выбрать подходящую нам меру (квадратный сантиметр, ар, клетку тетради) и посчитать, сколько раз данная мера «помещается» в измеряемую фигуру. 

Чтобы проиллюстрировать эту идею, я всегда предлагаю ребятам посчитать площадь фигуры, как на картинке ниже (лучше для начала использовать как меру не квадратные сантиметры, а клетки тетради). Заметьте, мы пока ни слова не говорим о формулах вычисления площади!

Мне кажется не очень полезным, а иногда даже вредным начинать разговор о понятии площади с формул. И это касается не только младших школьников. Перед вами задание из ОГЭ - экзамена, который сдают девятиклассники. Очень важно, чтобы ребёнок точно понимал алгоритм вычисления площади, и мог это сделать, не задумываясь, даже забыв необходимую формулу. 

Конечно, люди всегда стремились найти общие алгоритмы выполнения некоторого действия, чудодейственный способ, который позволить им сделать что-то быстрее. И, пожалуй, именно с формул нахождения площади фигур и началась геометрия, как наука. 

Но как объяснить ребёнку необходимость использования формул, если он знаком с универсальным способом нахождения площади фигур? 

Однажды мы с первоклассницей играли следующим образом: я рисовала произвольный многоугольник, а ее просила нарисовать другой, не равный ему, но имеющий ту же площадь. В какой-то момент она решила сама составить для меня задание. И, конечно, как любой ребёнок, не могла упустить шанс немного помучить учителя математики - нарисовала прямоугольник, занимающий весь тетрадный лист. А я только рада - вот он повод рассказать, что я хитрее и могу не пересчитывать это огромное количество клеточек, а знаю заветную формулу. Конечно, гораздо правильнее и разумнее начинать разговор о формулах (любых, не только площади) только тогда, когда ребёнок уже способен осознать их доказательство, пусть и не строгое.

Выше я назвала описанный способ нахождения площади универсальным, но это не совсем так. Как быть с геометрическими фигурами, которые не являются многоугольниками? Очень сложно измерить их площадь, просто располагая мерку внутри фигуры. 

Попробуем оценить площадь, используя метод, который в XIX веке предложил французский математик Камиль Жордан. Наложим на нашу фигуру палетку - прозрачную пластинку с изображённой на ней сеткой из квадратов единичной площади. Ее же функцию могут выполнять клетки тетрадного листа. Изобразим на палетке самую большой многоугольник, состоящий из целого числа клеток и полностью лежащий в той фигуре, площадь которой мы хотим измерить (на рисунке красным цветом). Найдём его площадь - в нашем примере площадь равна 7. Далее изобразим фигуру, максимально близко прилежащую к нашей, но полностью содержащую ее (на рисунке синим цветом). Найдём и ее площадь - в нашем примере 25. Тогда получается, что площадь криволинейной фигуры - число, лежащее между 7 и 25. Это, конечно, не очень точная оценка площади. Но стоит нам разбить каждый квадрат палетки на сотню квадратиков поменьше, мы сможем определить площадь фигуры с гораздо большей точностью. А если повторить эту операцию разбиения ещё много-много раз, то совсем точно. Но тут мы подбираемся к понятию предельного перехода, что явно выходит за рамки данной статьи.

Ниже представлено несколько идей, как «подружить» ребенка с понятием площади, отучить от мысли, что площадь всегда можно найти, умножив длину фигуры на её ширину. А на канале под публикацией вы также найдёте файл с заданиями для скачивания. 

1. Предложите ребёнку найти площадь фигур, изображённых на листе в клетку, у которых «нет длины и ширины».
2. Объясните ребёнку или попросите его самостоятельно нарисовать на листе в клетку новую меру - 1 квадратный сантиметр. Найдите площади аналогичных фигур в квадратных сантиметрах. Обсудите закономерность, которую вы заметили - как связана площадь фигуры, измеренная в тетрадных клетках и площадь в квадратных сантиметрах. 
3. Попросите ребёнка за отведённое время (например, за 5 минут) нарисовать как можно больше фигур, имеющих площадь 5 клеток.
4. «Мемори». Я уже упоминала эту игру в других моих статьях. На стол вперемешку выкладываются карточки картинкой вниз. Игрок может открывать любые две карточки за один ход. Если при открытии образовалась пара, то игрок забирает обе карточки себе и делает следующий ход. Если картинки на перевернутых карточках разные, то игрок кладет карточки на их прежнее место картинкой вниз, и ход переходит к другому игроку. В нашем случае парными будут считаться карточки, на которых изображены фигуры с равной площадью.
5. Более старшим детям можно предложить примерно оценить площадь криволинейных фигур, например такой, как изображена на рисунке ниже.

Удачи!