Обзор "Как не ошибаться. Сила математического мышления", 2014, 2е изд, Джордан Элленберг
Кто такой
Американский профессор математики в Университете Висконсин-Мэдисон. Дважды лучший участник Студенческой математической олимпиады. Научный сотрудник Американского математического общества.
Мое мнение
Книга около 600 страниц, но читается влёт потому что посмотрите на автора. Он кайфует от математики. И это передается через книгу.
Книга абсолютно такая же как "Фрикономика. Мнение экономиста-диссидента о неожиданных связях между событиями и явлениями", и это прекрасно, потому что я такие книги обожаю. Я с них кайфую.
Они обе про статистический анализ, про анализ данных, и про то, как люди ошибаются, приходя к неверным выводам.
Есть расхожая фраза, что самая большая ложь - это статистика. Так вот, это чушь собачья. Статистика в руках идиотов или эффективных менеджеров - самая большая ложь. А если правильно ей пользоваться - истина в последней инстанции.
В работе развивальщика предприятий постоянно приходится анализировать данные. Изучать системы, математические модели. И тут одно дело знать, как работает Эксель, а совсем другое - понять, что с чем вообще анализировать, как интерпретировать. По какой стратегии действовать. Математику можно знать, а можно чувствовать. Можно переплывать бассейн в надувных нарукавниках (владеть функциями Экселя), и считать то, что вам скажут посчитать. А можно плавать в информации как дельфин, и самому видеть суть закономерностей.
Автор пишет:
Текстовые задачи создают ложное впечатление о взаимосвязи между математикой и реальностью.«У Бобби есть три сотни шариков, тридцать процентов шариков он отдает Дженни. Джимми он отдает в два раза меньше, чем отдал Дженни. Сколько шариков осталось у Бобби?»Эта задача выглядит так, будто она описывает реальный мир, но на самом деле это просто арифметическая задача, которая неубедительно под реальный мир замаскирована. Такая текстовая задача не имеет никакого отношения к шарикам. С таким же успехом можно было бы сформулировать ее так:«введите „300 - (0,30 х 300) - (0,30 х 300) / 2 =“ в свой калькулятор и перепишите ответ»!Вопросы, возникающие в реальном мире, — это не текстовые задачи. В реальном мире задачу можно было бы сформулировать примерно так:«Сказался ли экономический спад особенно тяжело на работающих женщинах США, и если да, то в какой степени это является результатом политики администрации Барака Обамы?»У калькулятора нет кнопки для решения такой задачи, поскольку для получения разумного ответа, необходимо знать нечто большее, чем только цифры. Какова форма кривой потери рабочих мест среди мужчин и женщин во время типичного экономического спада? Были ли у данного экономического спада заметные особенности в этом отношении? Какие именно места занимают преимущественно женщины? Какие решения Обамы негативно сказались на данном секторе экономики? Вы можете браться за калькулятор только после того, как сформулируете перечисленные вопросы. Но к данному моменту вся мысленная работа должна быть завершена. Деление одного числа на другое — просто расчеты; определение того, что на что следует делить, — это и есть математика.
Интересные теории
Как получить больше налогов, снизив налоги
Горизонтальная ось это уровень налогов, а вертикальная — доход правительства от налогов. С левой стороны графика налог составляет 0%. В этом случае правительство не получает никаких налогов. Справа ставка налога составляет 100%. Это означает, что, каким бы ни был ваш доход - абсолютно всё уходит правительству. Но если правительство забирает у вас всё, то зачем вам работать или вести бизнес легально и вообще платить налоги? В таком случае правительственные доходы тоже будут равны нулю.
Правительство имеет доход от налогов в случае, когда налоговые ставки попадают где-то между нулевой долей нашего дохода и всем доходом.
Это означает, что линия, отображающая зависимость между налоговой ставкой и правительственным доходом, не может быть прямой. Если текущая ставка подоходного налога действительно близка к нулю, повышение налогов приведет к тому, что в распоряжении правительства будет больше денег. Однако если подоходный налог близок к 100%, повышение налогов на самом деле приведет к сокращению правительственных доходов.
Если вы находитесь с правой стороны от вершины кривой Лаффера и хотите увеличить доходы государства от налогов, тогда есть простое и замечательное с политической точки зрения решение: снизить уровень налогов, тем самым увеличив общую сумму налогов, которые вы взимаете.
Какой путь выбрать, зависит от того, где вы находитесь. Так где мы находимся? Здесь и начинаются трудности.
Максимальная ставка подоходного налога в США в 1974 году составляла 70%, и мысль о том, что Америка находится на нисходящем участке кривой Лаффера, представляла интерес.
Кривая Лаффера с ее компактным графическим представлением и притягательной парадоксальностью быстро нашла сторонников среди политиков, и раньше выступавших за снижение налогов.
Богатый опыт работы Рональда Рейгана в Голливуде в 1940-е годы, когда он был кинозвездой, заложил основы его представлений об экономике, что понадобилось ему четыре десятилетия спустя.
«Я узнал, что такое большие деньги, снимаясь в фильмах во время Второй мировой войны», — так говорил Рейган. В то время добавочный подоходный налог достиг 90%. «Можно было сняться в четырех картинах — и вы уже в более высоком разряде налогообложения. Поэтому примерно после четырех фильмов мы бросали работу и уезжали в деревню», — продолжал Рейган. Высокий налог приводит к тому, что люди работают меньше. Низкий налог приводит к тому, что они работают больше. Его опыт доказал это.
Не сработало
В наши дни трудно найти экономиста с хорошей репутацией, считающего, будто США находится на нисходящем участке кривой Лаффера. В настоящее время с самых высоких доходов взимается налог по ставке всего 35%. Но даже во времена Рейгана США находились с левой стороны кривой Лаффера.
Потому что дальнейшая история не подтвердила гипотезу Лаффера по поводу того, что снижение налоговых ставок приводит к увеличению налоговых поступлений. Когда после избрания на пост президента, Рейган снизил налоги, объем налоговых доходов сократился, а не увеличился. За период с 1980 по 1984 год поступления от подоходного налога с физических лиц сократились на 9% (на человека, с учетом инфляции), хотя средний доход (на человека, с учетом инфляции) возрос на 4% за тот же период.
Сторонники экономики предложения, придерживающиеся умеренных взглядов, утверждают, что снижение налогов может усилить мотивацию людей работать больше и открывать новые компании, что в итоге приведет к укреплению экономики, даже если прямой эффект снижения налогов — это сокращение правительственных доходов. Экономист, больше сочувствующий идее перераспределения доходов, отметил бы, что это палка о двух концах, поскольку сокращение правительственных расходов может означать, что правительство будет выделять меньше средств на инфраструктуру, менее строго бороться с мошенничеством и в целом предпринимать меньше всех тех действий, которые способствуют развитию свободного предпринимательства. Кроме того, самые богатые люди, платящие налог на верхнюю часть дохода по ставке 70%, действительно увеличили налоговые поступления после предпринятого Рейганом снижения налогов.
Это создает несколько тревожную мысль о том, что максимальное увеличение правительственных доходов может быть достигнуто за счет повышения налогов на представителей среднего класса, которым не останется ничего другого, кроме как продолжать работать, при одновременном снижении налогов для накопивших достаточно богатства людей.
Но если правительство введет налог, который покажется среднему классу слишком высоким, то возникнет реальная угроза сокращения деловой активности и ее усиления в офшорных зонах. При таком развитии событий многим либералам придется примкнуть к точке зрения, что, возможно, максимальное увеличение правительственных доходов — не такая уж хорошая идея.
Аргумент Лаффера нельзя назвать полностью необоснованным. Его рисунок проиллюстрировал фундаментальную и неопровержимую математическую идею: зависимость между налогообложением и поступлениями в казну неизбежно носит нелинейный характер. Безусловно, кривая этой зависимости не обязательно должна представлять собой один ровный изгиб, как на рисунке Лаффера. В любом случае, если эта кривая направлена вверх в одном месте, она непременно развернется вниз в другом.
Кривая Лаффера говорит только о том, что при определенных обстоятельствах снижение налоговых ставок может привести к увеличению налоговых поступлений, однако определение этих обстоятельств требует выполнения глубоко продуманной, трудной эмпирической работы.
Поголовное ожирение американцев
Автор натолкнулся в журнале Obesity на статью, в заголовке которой был поставлен вопрос: «Будут ли все американцы страдать ожирением?»
Как будто одной постановки вопроса было недостаточно, в статье дается ответ: «Да — к 2048 году».
Статья в журнале Obesity вызвала широкие дискуссии в прессе. В новостях предупреждали о наступлении «ожирения как катастрофы современности». В Long Beach Press-Telegram была опубликована статья с простым заголовком: We’re Getting Fatter («Мы становимся все более толстыми»).
В статье информация была представлена в качестве научно доказанного факта. Эта идея лежит в основе линейной регрессии — статистического метода, который используется многократно чаще, чем подходит для этого.
Так сколько же американцев будут страдать ожирением к 2048 году?
Вы уже догадываетесь, как авторы статьи журнала Obesity, построили свою проекцию. Национальная программа проверки здоровья и питания населения (далее — NHANES) отслеживает данные о состоянии здоровья большой репрезентативной выборки граждан. В частности, NHANES предоставляет данные о доле американцев, имеющих избыточный вес.
Нет никаких сомнений в том, что за последние десятилетия распространенность избыточного веса увеличилась. В начале 1970-х годов чуть менее половины американцев имели столь высокий индекс массы тела. В начале 1990-х этот показатель возрос до 60%, а в 2008 году избыточный вес был почти у трех четвертей населения США.
Линейная регрессия будет выглядеть примерно так.
Прямая линия пересечет уровень 100% в 2048 году. Именно поэтому авторы статьи пишут, что к 2048 году все американцы будут страдать избыточным весом, если текущая тенденция сохранится. Но текущая тенденция не сохранится! В действительности график, отображающий рост доли людей с избыточным весом, изгибается к 100% следующим образом:
Чем больше доля людей с избыточным весом, тем меньше остается худощавых людей, которые могли бы стать толстыми, и тем медленнее доля людей с избыточным весом приближается к 100%. В какой-то точке ниже 100% эта кривая перейдет в горизонтальную линию. Худые всегда будут с нами! Четыре года спустя по результатам опроса NHANES было установлено, что распространенность избыточного веса начала замедляться.
Однако статья в журнале Obesity скрывает еще худшее преступление против математики и здравого смысла. Авторы разбили свои данные на категории по этнической и половой принадлежности. Оказалось, что чернокожие мужчины с меньшей вероятностью имеют избыточный вес, чем американцы в целом. Еще важнее, что среди чернокожих мужчин количество людей с избыточным весом увеличивалось в два раза медленнее. Если мы отобразим на одном рисунке графики увеличения доли людей с избыточным весом среди чернокожих мужчин и среди всех американцев, а также линейную регрессию, получится следующая картина.
Молодцы, чернокожие! Вы не будете жирными вплоть до 2095 года, а в 2048 году ожирение распространится лишь у 80%.
Если предполагается, что в 2048 году все американцы будут иметь избыточный вес, где же в это время будут те чернокожие мужчины, у которых проблемы с весом должны будут возникнуть позже?
Точный, но ложный
В 2012 году в ходе президентской избирательной кампании команда Митта Ромни, получив плохие результаты опросов среди избирателей женского пола, обнародовала такое заявление:
«Администрация Обамы привела к тому, что для американских женщин наступили трудные времена. В период правления президента Обамы большому количеству женщин было крайне трудно найти работу — намного труднее, чем когда-либо за всю историю американского государства. На женщин приходится 92,3% от всех рабочих мест, потерянных при Обаме».
В каком-то смысле это заявление можно считать правильным. По данным Бюро трудовой статистики, в январе 2009 года общая численность работающих составляла 133 561 000 человек, а в марте 2012 года — 132 821 000 человек: на 740 тысяч рабочих мест меньше.
Среди женщин были такие показатели: 66 122 000 и 65 439 000, а значит, в марте 2012 года работающих женщин было на 683 тысячи меньше, чем в январе 2009 года, когда Обама занял пост президента США.
Разделите второе число на первое — и получите 92%. Создается впечатление, будто Обама ездил по стране и приказывал компаниям увольнять подряд всех женщин. Но все не так. Эти числа представляют собой чистое сокращение рабочих мест. Мы не знаем, сколько рабочих мест было создано и сколько сокращено за эти три года; нам известно только то, что разность между двумя показателями составляет 740 тысяч.
Показатель чистого сокращения занятости в одних случаях бывает положительным, в других отрицательным, поэтому брать от него процент — слишком опасное дело. Только представьте себе, если команда Ромни начала бы свои подсчеты на месяц позже, в феврале 2009 года. В тот период (еще один трудный месяц экономического спада) общая численность работающих составляла 132 837 000 человек. С февраля 2009-го до марта 2012 года экономика США потеряла еще 16 тысяч рабочих мест. Среди женщин потеря рабочих мест составила 484 тысячи (что, разумеется, уравновешивалось соответствующим увеличением количества рабочих мест среди мужчин).
Какая упущенная возможность для кампании Ромни! Если члены его команды начали бы свои подсчеты с февраля, первого полного месяца президентства Обамы, они имели бы полное право заявить, что при этом президенте на женщин приходится 3000% от общей численности потерянных рабочих мест!
Разберемся, что на самом деле случилось с долей мужчин и женщин в общем составе рабочей силе начиная с инаугурации Обамы и заканчивая мартом 2012 года
Произошло два события. С января 2009-го до февраля 2010 года уровень занятости как среди мужчин, так и среди женщин резко упал под воздействием экономического спада.
Январь 2009-го — февраль 2010 года:
- чистое сокращение рабочих мест среди мужчин — 2 971 000;
- чистое сокращение рабочих мест среди женщин — 1 546 000.
Затем, после окончания рецессии, картина занятости начала постепенно улучшаться.
Февраль 2010-го — март 2012 года:
- чистый прирост рабочих мест среди мужчин — 2 714 000;
- чистый прирост рабочих мест среди женщин — 863 000.
Во время резкого падения уровня занятости, мужчинам пришлось особенно трудно. Они потеряли почти в два раза больше рабочих мест, чем женщины. А в период оздоровления экономики на мужчин пришлось 75% прироста численности рабочих мест. Если сложить показатели за оба периода, данные о занятости среди мужчин почти полностью уравновешивают друг друга;
В итоге в конце периода у мужчин остается почти столько же рабочих мест, сколько и в начале. Таким образом, вывод, будто текущий экономический период оказался чрезвычайно трудным только для женщин, совершенно не обоснован.
Интересную оценку показателю в 92,3%, приведенному командой Ромни, дали в Washington Post: «точный, но ложный».
Легко представить количественный анализ политики как нечто такое, что можно выполнить с помощью калькулятора. Однако калькулятор следует использовать только тогда, когда вы точно знаете, что именно хотите подсчитать.
В 2 раза более смертельный препарат
Британский комитет по безопасности лекарственных средств (далее по тексту — CSM) в 1995 году разослал по всей Великобритании информационное письмо с предупреждением относительно некоторых марок оральных контрацептивов «третьего поколения».
В этом письме было сказано следующее: «Получены доказательства, что в случае приема некоторых лекарственных препаратов вероятность закупорки вен возрастает в два раза по сравнению с другими».
Авторы письма поспешили заверить читателей, что противозачаточные средства безопасны для большинства женщин, а также что никому не следует прекращать прием соответствующих препаратов без совета врача. Однако такие детали легко теряются из виду, если главная мысль состоит в том, что «таблетки убивают».
Информационное агентство Associated Press опубликовало сообщение: «В четверг правительство предупредило, что новый оральный контрацептив, который принимают 1,5 миллиона британских женщин, может привести к образованию тромбов. …Рассматривалась возможность изъятия данного лекарственного препарата из обращения, но было принято решение не делать этого, отчасти потому, что некоторые женщины не могут принимать другие препараты».
Женщины почувствовали себя ошарашенными. По данным одного терапевта, 12% ее пациенток, как только услышали о докладе правительства, прекратили принимать контрацептивы. По всей вероятности, многие перешли на другие типы противозачаточных средств, не имеющих побочного действия в виде тромбоза. Однако любой перерыв в приеме контрацептивов снижает их эффективность, а менее эффективные противозачаточные меры приводят к увеличению случаев беременности.
До этого инцидента уровень зачатий в Соединенном Королевстве снижался на протяжении нескольких лет подряд, но в следующем году он повысился на несколько процентных пунктов. В Англии и Уэльсе в 1996 году было зачато на 26 тысяч младенцев больше, чем за год до этого. Поскольку во многих случаях беременность оказалась незапланированной, это привело к увеличению случаев прерывания беременности: в 1996 году было сделано на 13 600 абортов больше, чем в 1995-м.
На первый взгляд можно предположить, что такое развитие ситуации не слишком большая плата за возможность избежать страшной угрозы, когда по вашей кровеносной системе носятся сгустки крови, способные привести к летальному исходу. Подумайте обо всех женщинах, которых предупреждение CSM спасло от смерти! Но о каком именно количестве женщин идет речь? Наверняка мы не знаем, однако, по данным одного ученого, поддержавшего решение CSM о публикации предупреждения, общее количество предотвращенных случаев смерти от эмболии составляло «возможно, один случай».
Дополнительный риск в случае приема оральных контрацептивов третьего поколения был значимым в статистическом смысле по Фишеру, но не был значимым с точки зрения здравоохранения. Способ, каким была подана эта история, только усилил замешательство. В письме CSM был приведен коэффициент риска: препараты третьего поколения в два раза увеличивают риск тромбоза у женщин. Звучит довольно мрачно, если только вы не вспомните, что тромбоз — крайне редкое заболевание. Среди женщин детородного возраста прием оральных контрацептивов первого и второго поколения мог привести к одному случаю тромбоза на семь тысяч женщин; у женщин, принимавших препараты нового поколения, этот риск был в два раза выше, то есть два случая тромбоза на семь тысяч женщин. Однако это все равно очень низкий уровень риска, если учесть простой математический факт: в два раза большее крохотное число остается крохотным числом. Хорошо это или плохо — увеличить нечто в два раза, зависит от того, насколько велико это нечто.
Вывод
Да, вот именно после таких историй и произносят, что статистика - самая большая ложь. И неправы они.
Книга актуальна, потому что такие бредовые истории происходят постоянно. То кококо на пустом месте, то игнорирование действительно значимых проблем, про приукрашивание результатов. Иногда неосознанно. Люди действительно интуитивно очень плохо воспринимают статистику. Эволюция нас к такому не готовила.
Вот где похожие истории разбираю я:
Регрессия к среднему, или как показать положительный эффект от любого улучшения, даже вредоносного
"Основы рационализации производства", 3-е издание, 1934 г. И.М. Бурдянский
Оценки:
Повышение общего кругозора: 5/5
Практическая польза: 4/5
Драйв при прочтении: 5/5
Что еще почитать:
"Думай медленно, решай быстро", Даниэль Канеман
"Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости", Нассим Николас Талеб
"Антихрупкость. Как извлечь выгоду из хаоса", Нассим Николас Талеб
Подписывайся, мыслитель!
