Решение задачи 494

Условие:

В центре круглого бассейна плавает Аня. Внезапно к бассейну подошёл учитель по французскому. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем Аня плавает. Аня бегает быстрее. Сможет ли она убежать?

Решение:

Без ограничения общности считаем, что радиус бассейна равен единице. Заметим, что если Аня будет плавать по окружности радиуса 0.25, то у нее и учителя будут одинаковые угловые скорости. Если же Аня будет плыть по окружности радиуса меньше 0.25, то ее угловая скорость будет больше, чем у учителя. В этом случае Аня сможет плыть так, чтобы в какой-то момент она и учитель были в диаметрально противоположных точках. Далее она может плыть прям по радиусу бассейна к берегу. Посмотрим, сможет ли она убежать.

Пусть Аня вышла на орбиту радиуса r. Через какое-то время Аня и учитель оказались в диаметрально противоположных точках. Ане до берега нужно проплыть 1−r, а учителю π. Тогда чтобы учитель не догнал Аню должно выполняться следующее неравенство: 1−r<π/4, то есть r > 1−π/4≈0.215.

Таким, образом, тактика Ани такая: выйти на орбиту радиуса 1−π/4<r<0.25 и, оказавшись в диаметрально противоположных точках с учителем, рвануть прямиком к берегу.

Ответ: Да, сможет.