Решение задачи 422

Условие:

В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₂₀₁₈. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

Решение:

Рассмотрим 2018 чисел: b₁={a₁}, b₂={a₁+a₂}, ..., b₂₀₁₈={a₁+a₂+...+a₂₀₁₈}, где {x} — дробная часть числа {x}. Разделим отрезок [0;1] на 1001 равных отрезков. По принципу Дирихле какие-то два числа bᵢ, bj попадут в один отрезок (i<j). Это значит что |{bᵢ}−{bj}|<1/1001. Это значит, что |(bj−bᵢ)−([bj]−[bᵢ])|=|{bᵢ}−{bj}|<1/1001, где [x] — целая часть x. Получается, сумма aᵢ₊₁+..+aj отличается от целого числа меньше чем на 1/1001, что в свою очередь меньше 0.001.