Решение задачи 459

Условие:

Оля утверждает, что знает такое десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырёхзначное число. Не ошибается ли Оля?

Решение:

Заметим, что если четырехзначное число заканчивается на одну из следующих цифр, то оно составное: 2, 4, 6, 8, 0, 5. Этих цифр как раз шесть, появляется подозрение, что такое число существует.

Напишем такое число: ****246805 (вместо звездочек должны быть цифры). Тогда если хоть какая-то из первых четырех цифр вычеркнута, то оставшееся число точно составное. Пусть никакая из первых четырех цифр не вычеркнута, то есть, вычеркнуты последние шесть цифр. Если из цифр 1, 3, 7, 9 можно составить составное число, то задача решена, и такое число существует. Заметим, что 1+9=7+3, значит число 1793 делится 11, то есть оно составное.

Получается, число 1793246805 удовлетворяет условию задачи, то есть Оля не ошиблась.

Ответ: Не ошиблась.