Решение задачи 416

Условие:

На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться произведение трех натуральных чисел, если их сумма равна 2003?

Решение:

Пусть a+b+c=2003 и a⋅b⋅c=2ⁿ5ᵐ⋅A, (A,10)=1. Тогда a⋅b⋅c заканчивается на min(n,m) нулей. Все три числа a, b, c не могут одновременно делиться на 5, так как иначе бы их сумма тоже делилась на 5, но 2018 не кратно пяти. Заметим, что 5⁵ больше 2018, значит ответ максимум 8. Приведем пример на восемь.

Пусть a=625⋅p, b=625⋅q, a+b+c=2003, (p,5)=(q,5)=1. Надо, чтобы p⋅q⋅c делилось на 2⁸. Понятно, что ровно два числа из чисел a, b, c четны. Еще учитывая, что p+q<4, получаем, что p=2, q=1 (или p=1, q=2). Тогда c=128, и p⋅q⋅c действительно делится на 256.

Ответ: Восемь.