Решение задачи 426

Условие:

Сумма цифр натурального числа 3k−1 равна сумме цифр натурального числа 2k+2. Могут ли быть равными суммы цифр чисел 3k−2 и k+1?

Решение:

Вспомним, что всякое натуральное число n дает тот же остаток при делении на 9, что и его сумма цифр. Поэтому если два числа n и m имеют одинаковую сумму цифр, то их разность делится на 9. Значит, (3k−1)−(2k+2)=k−3 делится на 9. Пусть суммы цифр чисел 3k−2 и k+1 равны, тогда, по аналогичным рассуждениям, получаем, что (3k−2)−(k+1)=2k−3 делится на 9. Отсюда следует, что (2k−3)−(k−3)=k делится на 9. Но тогда k−3 не может делиться на 9. Противоречие, значит суммы цифр чисел 3k−2 и k+1 не могут совпадать.

Ответ: Нет.