Решение задачи 456

Условие:

Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень 2019-ой степени?

Решение:

В первую группу отнесем число 1. Далее будем строить группы следующим образом. Пусть k групп уже построены. В k+1-ую группу отнесем сначала первые k невыбранных чисел. Пусть S — сумма этих чисел, а A — минимальное натуральное число такое, что число A²⁰¹⁹−S>0 и оно еще не выбрано. Отнесем число A²⁰¹⁹−S в k+1-ую группу. По построению, группы не пересекаются и в каждой группе из сумма чисел нацело извлекается корень 2019-ой степени. Осталось показать, что каждое натуральное число будет отнесено в какую-ту группу. Это действительно так, потому что построив первые k групп, мы каждое число из первых 1+2+...+k−1 отнесли в какую-ту группу. Значит, такое разбиение подходит.

Ответ: Да.