Решение задачи 439

Условие:

На доске было написано число 141. Каждую минуту у написанного на доске числа перемножают все цифры и полученное произведение либо прибавляют к числу, либо вычитают из него (а результат записывают на доску вместо исходного числа). Докажите, что число 141 больше никогда не появится на доске.

Решение:

У числа 141 произведение цифр равно четырем, значит, следующее число будет либо 145 либо 137. Разберем оба случая:

1) Получили число 145. Заметим, что если число кратно 5, то произведение его цифр тоже кратно пяти. Пользуясь тем, что сумма чисел, кратных пяти, кратна пяти, делаем вывод, что все следующие числа на доске будут кратны пяти. Число 141 не кратно пяти, значит оно никогда не появится.

2) Получили число 137. Его произведение цифр равно 21, значит следующее число будет либо 158, либо 116. Заметим, что если число четно, то произведение его цифр тоже четно. Пользуясь тем, что сумма четных чисел четно, делаем вывод, что все следующие числа на доске будут четными. Число 141 нечетно, значит оно никогда не появится.