Решение задачи 462

Условие:

На окружности стоят 50 единиц. За одну операцию можно выбрать 4 подряд стоящих числа и из любого из них вычесть единицу, одновременно прибавив единицу к трём остальным. Могут ли через несколько таких операций все числа стать равными 100?

Решение:

Покрасим числа в черный и белый цвета в шахматном порядке. Заметим, что в любой четверке подряд стоящих чисел ровно два черных. Посмотрим внимательнее что происходит с черными числами в рамках одной операции. Возьмем любые четыре подряд стоящих числа. Тогда либо оба черных увеличились на единицу, либо одно уменьшилось на единицу, а другое увеличилось на единицу. В обоих случаях четность суммы черных чисел в четверке не изменилась. Остальные черные (не из четверки) вообще никак не изменились, значит четность суммы всех черных чисел не меняется.

Изначально сумма черных чисел равна 25, а в конце должна быть равна 2500. Числа 25 и 2500 разной четности, значит все числа стать равными 100 не могут.

Ответ: Нет.