Решение задачи 421

Условие:

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Решение:

Сделаем ортогональную проекцию всех окружностей на сторону АВ. Окружность длины l при такой проекции перейдет в отрезок длины l/π. Значит, сумма длин проекций-отрезков всех окружностей равна 10/π, что больше трех. Покажем, что на стороне АВ найдется точка, которая принадлежит хотя бы четырем проекциям. Пусть это не так, тогда каждая точка покрыта не более тремя проекциями, а значит, сумма длин всех проекций не больше трех. Получается, найдется точка, принадлежащая хотя бы четырем проекциям, назовем ее Х.

Прямая, перпендикулярная стороне АB и проходящая через точку Х, пересекает хотя бы четыре окружности.