Решение задачи 429

Условие:

В шахматном турнире по круговой системе (каждый играет с каждым ровно один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0) каждый из шахматистов, избежавших трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с тремя участниками, занявшими последние три места. Найдите наибольшее возможное количество участников турнира.

Решение:

Оценка:

Пусть всего k+3 шахматиста. Рассмотрим любого шахматиста из первых k шахматистов. Он мог набрать максимум 3 очка в встречах с последними тремя шахматистами (если выиграет у каждого). Значит, в встречах с остальными шахматистами он так же мог набрать максимум 3 очка.

Рассмотрим все встречи среди первых k шахматистов и только их. Нетрудно видеть, что было разыграно k*(k−1)/2 очков. С другой стороны, из вышесказанного следует, что было разыграно не более 3k очков. Отсюда следует, что k*(k−1)/2≤3k => k−1≤6 => k≤7. Значит, игроков максимум 10.

Пример:

Пример на 10 игроков: первые 7 игроков между собой играют вничью, а у последних трех выигрывают. Тогда каждый из них наберет по 6 очков, три из которых в встречах с последними тремя игроками. Как сыграют между собой три последних игрока не имеет значения.

Ответ: 10.

Источник: Регата для 9ых классов, 2018ый год.