Решение задачи 464

Условие:

(Лемма Архимеда) Окружность α касается окружности ω в точке А, а хорды ВС касается в точке D. Прямая AD пересекает окружность ω в точке Е. Докажите, что точка Е — середина дуги ВЕС.

Решение:

Сделаем гомотетию с центром в точке А и таким коэффициентом, чтобы центр окружности α перешел в центр окружности ω. Такая гомотетия существует, ведь точа А и центры окружностей лежат на одной прямой. Точка А останется на месте, значит окружность α перейдет при гомотетии в окружность ω. Точка D перейдет в точку Е.

Прямая ВС перешла в некоторую прямую γ. Разберемся, что это за прямая. Во-первых, прямая γ параллельна прямой ВС, ведь при гомотетии прямые переходят в параллельные им прямые. Во-вторых, прямая γ проходит через точку Е, а также является касательной к окружности ω.

Имеем: прямая γ параллельна прямой ВС и касается окружности ω в точке Е. Углы ∠ВЕН и ∠ЕВС равны, как накрест лежащие. А значит дуги, которые они стягивают, а именно ВЕ и ЕС, равны. Отсюда следует, что точка Е — середина дуги ВЕС.